Exphys2_Quiz9

In einem endlich hohen Kasten zwischen x = 0 und x = a (Potential V₀ außerhalb des Kastens)

• ergeben sich als Lösung stehende Wellen innerhalb und außerhalb des Kastens, wobei die Amplitude der Welle außerhalb kleiner ist

• ist die Wellenfunktion außerhalb des Kastens überall Null

• ist die Wellenfunktion außerhalb des Kastens eine reelle Exponentialfunktion

• entspricht die Schrödingergleichung außerhalb des Kastens der Schwingungs-DGL

Die Lösung der Schrödingergleichung im Inneren eines endlich hohen Kastens zwischen x=0 und x=a

• ist dieselbe wie für den unendlich hohen Kasten

• ist mit demselben Ansatz wie für den unendlich hohen Kasten zu erhalten

• ist eine stehende Welle mit derselben Amplitude wie im unendlich hohen Kasten

• führt aufgrund der Randbedingungen zur Quantenzahl n des Zustands eines Teilchens im Kasten

Die Lösung der Schrödingergleichung eines endlich hohen Kastens zwischen x=0 und x=a

• muss bei x = 0 und x = a stetig differenzierbar sein

• ist für x < 0 eine Exponential-Funktion mit negativem Exponenten

• ist für x > a eine Exponential-Funktion mit negativem Exponenten

• hat für E > V₀ nur Sinus- oder Cosinusfunktionen als Lösung

Tunneleffekt

• ein Teilchen kann eine Potentialbarriere von endlicher Höhe auch dann überwinden, wenn seine Energie geringer als die „Höhe“ der Barriere ist

• Die Tunnelwahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Quotienten der Quadrate der Wellenfunktionen hinter und vor der Barriere

• Die Tunnelwahrscheinlichkeit nimmt exponentiell mit der Dicke der Barriere ab

• Die Tunnelwahrscheinlichkeit nimmt mit der Masse des Teilchens zu

• Das Teilchen hat in der Barriere die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null

Ein Wasserstoffatom

• besteht aus 1 Positron und 1 Elektron

• hat eine kugelsymmetrische Wellenfunktion mit den Kugelkoordinaten (r, φ, z)

• hat aufgrund der Dreidimensionalität 3 Quantenzahlen (qz): Haupt-qz n, Bahndrehimpuls-qz l und magnetische Qz m_l

• hat zusätzlich die Spinquantenzahl m_s, die nur die beiden Werte +1 und -1 annehmen kann

Energien im Wasserstoffatom

• Die Energien im Wasserstoffatom nehmen quadratisch mit der Hauptquantenzahl n zu

• Die Energieniveaus liegen für kleine n näher zusammen als für große n

• Die Rydberg-Energie -13,6 eV entspricht der Energie auf dem ersten Energieniveau (n=1)

Energien im Wasserstoffatom

• Die Energie im Wasserstoffatom wird in erster Näherung nur von der Drehimpulsquantenzahl l bestimmt

• Aufgrund der Wechselwirkung von Bahndrehimpuls und Spindrehimpuls (d.h. magnetisches Moment) der Elektronen kommt es zu einer Feinstruktur im optischen Spektrum

• Aufgrund der Wechselwirkung von Bahndrehimpuls des Kerns und Spindrehimpuls der Elektronen kommt es zu einer Hyperfeinaufspaltung der Energiezustände

• Aufgrund des Spins der Elektronen und des Protons und dem damit verbundenen magnetischen Moment haben Zustände mit unterschiedlichem l, m_l und m_s nicht die exakt gleichen Energien

• Bei Übergängen in das Niveau mit Energiequantenzahl n=2 (Balmer-Serie) liegen die Emissionslinien im sichtbaren Bereich

Drehimpulsquantenzahl und magnetische Quantenzahl

• Alle möglichen l und m_l für ein n aufaddiert ergibt 2n² Zustände

• Auf einem Energieniveau mit Hauptquantenzahl n können sich gleichzeitig 2n² Elektronen aufhalten

• l kann die Werte -n, n+1, …, 0, 1, …, n annehmen

• m_l kann 2l+1 Werte annehmen und erklärt, warum es nur 1 s-Orbital (mit l=0), aber 3 p-Orbitale mit l = 1) gibt

• l bestimmt den Betrag des Drehimpulses und m_l die Richtung bzw. z-Komponente