Inductia matematica

Se dă: P(n): 3+5+7+….+(2n+1)=n²+2n, n∈Ν^*

Pentru a demonstra egalitatea cu ajutorul inducției matematice, trebuie demonstrat că:

• Propoziția P(1) este adevărată

• Propoziția P(0) este adevărată

Se consideră propoziția generală P(n): 2ⁿ+2n²+18n ⋮ 4, nϵΝ, n≥2.

Pentru a demonstra cu ajutorul inducției divizibiitatea de mai sus, în ,,Etapa I,, trebuie demonstrat că:

• Propoziția P(0) este adevărată

• Propoziția P(1) este adevărată

• Propoziția P(2) este adevărată

• Propozițiile P(0), P(1) și P(2) sunt adevărate.

Se dă propoziția generală P(n): 2ⁿ+2n²+18n ⋮ 4, nϵΝ, n≥2.

Propoziția P(2) arată astfel: 2²+2⋅2²+18⋅2 ⋮ 4

• Fals

• Adevărat

În ,,Etapa II,, a unei demonstrații prin inducție se presupune adevărată propoziția P(k) pentru orice nr., kϵN, k≥n₀ și folosind P(k) se demonstrează ptropoziția P(k+1) adevarată.

• Adevărat

• Fals

Se dă predicatul P(n): 3+5+7+...+(2n+1)=n²+2n, nϵN^*

Propoziția P(1) arată astfel:

• 1+3=2²

• 3=1²+2·1

• 3+5=2²+2·2

• 3+3=2²+2·1

Se dă predicatul P(n): 9ⁿ⁺¹ -8n +23⋮ 16, nϵN. Fie kϵ N^* . Atribuind variabilei n valoarea numerică k+1 se obține propoziția:

• P(k+1): 9^k+2 -8(k-1)+23⋮ 16

• P(k+1): 9^k+1 -8(k-1)+23⋮ 16

• P(k+1): 9^k+2 -8(k+1)+23⋮ 16

• P(k+1): 9^k+1 -8(k-1)+23⋮ 16

Se consideră P(n): 3+5+7+...+(2n+1)=n²+2n, nϵN^*.

Propoziția P(k+1) arată astfel:

• P(k+1): 3+5+...+(2k+3)=(k+1)²+2(k+1)

• P(k+1): 3+5+...+(2k+3)=k²+2k+1

• P(k+1): 5+7+...+(2k+2)=(k+1)²+2(k+1)

• P(k+1): 5+7+...+(2k+3)=(k+1)²+2(k+1)