Mécanique des fluides

Si l'écoulement est incompressible alors $$div\left(\overrightarrow{v}\right)=0$$

Si l'écoulement est irrotationnel alors $$\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{v}\right)=\overrightarrow{0}$$

Lorsque l'écoulement est irrotationel alors la vitesse dérive d'un potentiel Φ tel que $$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{grad}\left(\Phi\right)$$ , la vitesse est dans le sens de l'augmentation des potentiels.

$$D_v=\int\int\overrightarrow{v}.\overrightarrow{dS}$$

écoulement incompressible alors $$div\left(\overrightarrow{v}\right)=0$$ donc $$0=\int\int\int div\left(\overrightarrow{v}\right)d\tau\ =\ \oint_s\overrightarrow{v}.\overrightarrow{dS}=D_v=0$$

Cela peut être dû au fluide qui est incompressible.

Cela peut être dû aux conditions d'écoulement. On peut avoir un écoulement incompressible dans l'air même si celui-ci est compressible. Dans ce cas la vitesse d'écoulement U et la célérité c des ondes sonores dans le fluide vérifient $$\frac{U^2}{c^2}$$ très inférieur à 1.

Il s'agit de préciser l'échelle à laquelle les modèles développés sont valables.

Cette échelle doit être beaucoup plus grande que la distance entre molécules de fluide et beaucoup plus petite que les dimensions caractéristique des l'écoulement.

On se place typiquement à des échelles de l'ordre de 0,1 micromètre dans les liquides à 100 micromètre dans les gaz à température et pression ambiante.

La description lagrangienne où l'on suit une particule de fluide le long de l'écoulement. On trace ainsi les lignes de courant.

La description eulérienne où l'on fixe le temps et on regarde les grandeurs en tout point du fluide.

$$\rho\left(M,t\right)\left(\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad}\left(\overrightarrow{v}\right)\right)$$

$$=-\overrightarrow{grad}\left(p\left(M,t\right)\right)+\overrightarrow{f}_{vol}\left(M,t\right)+\eta\Delta\overrightarrow{v}$$

$$\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad}\left(\overrightarrow{v}\right)$$ représente la somme de l'accélaration temporelle et de l'accélération convective

$$-\overrightarrow{grad}\left(p\left(M,t\right)\right)$$ est la force volumique de pression

$$\eta\Delta\overrightarrow{v}$$ représente la force volumique de viscosité de cisaillement. Il représente une diffusion de la quantité de mouvement.

$$\overrightarrow{f}_v\left(M,t\right)$$ représente les autres forces volumiques s'appliquant au fluide (le poids par exemple)

masse volumique uniforme

écoulement incompressible

1) On part de l'équation de conservation de la masse

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+div\left(\rho\overrightarrow{v}\right)=0$$

2) On développe la divergence

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\ div\left(\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad}\left(\rho\right)$$

3) l'écoulement étant incompressible on obtient $$\frac{\text{D}\rho}{\text{Dt}}=0$$

Un fluide est dit newtonien lorsque sa viscosité dynamique ne dépend pas des contraintes appliquées au fluide.

Un fluide est dit parfait lorsqu'il est non visqueux.

$$\frac{\text{D}v}{\text{D}t}=\frac{\partial v}{\partial t}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad}\left(\overrightarrow{v}\right)$$

$$\frac{\text{D}v}{\text{D}t}=\frac{\partial v}{\partial t}+\overrightarrow{grad}\left(\frac{v^2}{2}\right)+\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v}$$

cette expression permet démontrer le théorème de Bernouilli.