Verdadero-Falso temas 1-6

CUESTIONES 2024 : la matriz A ∈ C 3×6 tiene rango r(A) = 3 y está asociada a una aplicación lineal f : C 6 → C 3.

*Su núcleo es ker A ̸= {0}

*La aplicación f es sobreyectiva

*Las imágenes de los vectores de una base de C 6 son linealmente independientes.

*El núcleo de la matriz AhA es ker AhA = ker A

• A) Verdadero, B) Falso, C) Verdadero, D) Falso

• A) Falso, B) Verdadero, C) Falso, D) Falso

• A) Verdadero, B) Verdadero, C) Falso, D) Verdadero

• A) Falso, B) Falso, C) Verdadero, D) Verdadero

2023 PE-1, A : CUESTIONES : sean u, v, w, z vectores distintos dos a dos del espacio vectorial K4 , en donde K es un cuerpo. Sea una matriz A ∈ K6×4

*Si (u, v, w, z) es base de K4 , entonces (Au, Av, Aw, Az) es base de Im A.

^*Si Au, Av, Aw, Az son linealmente independientes, entonces r(A) = 4.

*Si A(u + v + w + z) = 0, entonces dim(ker A) ≥ 1.

*Si (u, v, w, z) es base de K4 , entonces: αu + βv + γw = 0 con α, β, γ ∈ K ⇒ α = β = γ = 0

• A) Falso, B) Verdadero, C) Falso, D) Verdadero

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• A) Falso, B) Falso, D) Verdadero, C) Verdadero

2023 PE-1, A : CUESTIONES B : sean u, v, w, z vectores distintos dos a dos del espacio vectorial K4 , en donde K es un cuerpo. Sea una matriz A ∈ K6×4 :

*Si (u, v, w, z) es base de K4 y r(A) = 4, entonces Au, Av, Aw, Az × son linealmente independientes.

*Si z = u + v + w, entonces dim(L[u, v, w, z]) = 3.

*ker A = {0} ⇔ r(A) = 4

*Si Au = αAv + βAw + γAz con α, β, γ ∈ K, entonces × u, v, w, z son linealmente dependientes.

• A) Falso, B) Verdadero, C) Falso, D) Verdadero

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2022 PE-2 A CUESTIONES : sea A una matriz cuadrada real (A ∈ R n×n ):

• *Si λ es autovalor de A, entonces λ 2 es autovalor de AtA

• *Si λ es autovalor de AtA, entonces λ ≥ 0

• *Si 1 + i es autovalor de A, entonces A no es simétrica

• *Si A es simétrica y A2 es definida positiva, entonces A es o bien definida positiva o bien definida negativa

• *Si A es simétrica, existe α ∈ R tal que la matriz A + αI es definida negativa

• A) Verdadero, B) Falso, C) Verdadero, D) Falso, E) Verdadero

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• A) Verdadero, B) Falso, C) Falso, D) Falso, E) Verdadero

2022 PE-2 B CUESTIONES : sea A una matriz cuadrada real (A ∈ R n×n ) :

• *Si u ∈ R n es autovector de A, entonces también lo es de At

• *Si λ 2 es autovalor de A2 , entonces λ es autovalor de A

• *Existe Q ∈ R n×n ortogonal tal que Qt (A + At )Q es diagonal

• *Si A es simétrica y r(A) < n, entonces A no es definida positiva ni definida negativa

• *Si A solo tiene el autovalor nulo, entonces A es la matriz nula

• A) Falso, B) Verdadero, C) Falso, D) Falso, E) Verdadero

• A) Verdadero, B) Falso, C) Falso, D) Verdadero, E) Verdadero

• A) Falso, B) Falso, C) Verdadero, D) Verdadero, E) Falso

• A) Falso, B) Falso, D) Verdadero, E) Verdadero, E) Falso

2021 PEC-3 A CUESTIONES :

*Si A ∈ R 2×2 tiene dos vectores propios reales ortogonales entre sí entonces A es simétrica

*Si la ecuación a11x2 + a22y2 + 2a12xy + a1x + a2y + a = 0 representa una parábola, entonces los vectores (a11, a12) y (a12, a22) son proporcionales.

*Sea A ∈ R n×n simétrica. Si A2 es definida positiva, entonces A es o bien definida positiva o bien definida negativa

*Sea A ∈ R n×n . Si u ∈ C n es autovector de A2 , entonces también lo es de A

*Si A ∈ R n×n es invertible y diagonalizable, entonces A−1 también lo es

*Sea A ∈ R n×n simétrica. Si A es definida negativa, entonces todos los elementos diagonales de A son negativos

*Si A ∈ C n×n no es diagonalizable, entonces tiene algún autovalor con multiplicidad algebraica mayor que 1

*Si A ∈ C n×n no es diagonalizable, entonces todos los subespacios propios de A tienen dimensión 1

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2021 B PEC-3 CUESTIONES :

*Si A ∈ C 3×3 tiene dos vectores propios no proporcionales entre sí asociados a un mismo autovalor, entonces A es diagonalizable.

*Si la ecuaci´on a11x 2 + a22y 2 + 2a12xy + a1x + a2y + a = 0 representa una hipérbola, entonces a11a22 − a 2 12 < 0

*Si A ∈ R 3×3 tiene algún autovalor no real, entonces es diagonalizable en C

*Sea A ∈ C n×n . Si u ∈ C n es autovector de A, entonces su conjugado u también lo es

*Si 0 es el único autovalor de A ∈ R n×n y A no es la matriz nula, entonces no es diagonalizable

*Sea A ∈ R n×n simétrica. Si A tiene algún elemento diagonal positivo y alguno negativo, entonces es indefinida

*Sea A ∈ C n×n . Si u, v ∈ C n no son proporcionales entre s´ı y, para λ, µ ∈ C, verifican Au = λu ∧ Av = µv, entonces λ 6= µ.

*Sea A ∈ R n×n simétrica. Si todos los autovalores de A son positivos, entonces aii > 0 para i = 1, 2, . . . , n

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2021 A PEC-2 CUESTIONES :

*Si (q1, . . . , qn) es una base ortonormal de R n y Q ∈ R n×n es una matriz ortogonal, entonces (Qq1, . . . , Qqn) también es base ortonormal de R n

*Si P ∈ R n×n es matriz de proyección ortogonal, es una matriz ortogonal.

*Si A ∈ R 2×2 verifica que ||A( 1 2 ) t|| = ||A( 2 1 ) t|| = √ 5 y <A( 1 2 ) t , A( 2 1 )t> = 4, entonces AtA=I

*Si las columnas de Q ∈ R 6×4 son ortonormales, sus filas también lo son

*Si las columnas de Q ∈ R 6×6 son ortogonales, sus filas también lo son

*Una matriz de simetría no puede tener todos sus elementos positivos

*Toda matriz real cuadrada que sea simétrica y ortogonal es de simetría.

*Si P, S ∈ R n×n son matrices, respectivamente, de proyección ortogonal y simetría (sobre subespacios cualesquiera), entonces PS = SP

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