I. 29. - VIII. D. - FELADATOK - SíKRA MERŐLEGES EGYENES

Az ABC és BCD egyenlő oldalú háromszög

két különböző síkban helyezkedik el,

és E a BC közös oldal felezőpontja.  

Igazold, hogy BC  ⊥ (ADE).

• BC ⊥ (ADE)

  AE ⋂ DE = {E}

  AE, DE ⊂ (ADE)

  AE ⊥ BC, DE ⊥ BC

  BC ⊥ AE és DE

• AE, DE ⊂ (ADE)

  AE ⋂ DE = {E}

  AE ⊥ BC, DE ⊥ BC

  BC ⊥ (ADE)

  BC ⊥ AE és DE

• AE ⊥ BC, DE ⊥ BC

  AE ⋂ DE = {E}

  BC ⊥ (ADE)

  AE, DE ⊂ (ADE)

  BC ⊥ AE és DE

• AE, DE ⊂ (ADE)

  AE ⋂ DE = {E}

  AE ⊥ BC, DE ⊥ BC

  BC ⊥ AE és DE

  BC ⊥ (ADE)

Az ABCD és BCEF négyzet

két különböző síkban helyezkedik el,

és CM félegyenes a DCE szög szögfelezője, M ∈ DE.

Igazold, hogy BC ⊥ (CDF) !

• BC ⊥ (CDF)

  DC, CF ⊂ (CDF)

  DC ⋂ CF = {F}

  BC ⊥ DC, BC ⊥ CF,

• DC, CF ⊂ (CDF)

  DC ⋂ CF = {F}

  BC ⊥ DC, BC ⊥ CF,

  BC ⊥ (CDF)

• DC ⋂ CF = {F}

  BC ⊥ (CDF)

  DC, CF ⊂ (CDF)

  BC ⊥ DC, BC ⊥ CF,

• DC ⋂ CF = {F}

  BC ⊥ (CDF)

  BC ⊥ DC, BC ⊥ CF,

  DC, CF ⊂ (CDF)

Az ABCD tetraéder ABC, ACD és ABD lapja

A-ban derékszögű háromszög.

Hány fokos szöget zárnak be

a tetraéder szemben fekvő oldalai egymással?

Pl.: AD és BC

vagy AB és DC stb.

• 30^o

• 60^o

• 45^o

• 90^o

Az ABCDEFGH kockában

AC ⋂ BD = {O}

EG ⋂ FH = {Q}

Igazold, hogy BD ⊥ (ACE)!

• OQ ⊥ (ABC)

  AC ∩ OQ = {O}

  ezért OQ ⊥ BD

  AC, OQ ⊂ (ACE)

  BD ⊥ OQ, BD ⊥ AC ezért BD ⊥ (ACE)

  AC ⊥ BD (átlók)

• AC, OQ ⊂ (ACE)

  AC ∩ OQ = {O}

  AC ⊥ BD (átlók)

  ezért OQ ⊥ BD

  OQ ⊥ (ABC)

  BD ⊥ OQ, BD ⊥ AC ezért BD ⊥ (ACE)

• AC, OQ ⊂ (ACE)

  AC ∩ OQ = {O}

  OQ ⊥ (ABC)

  ezért OQ ⊥ BD

  AC ⊥ BD (átlók)

  BD ⊥ OQ, BD ⊥ AC ezért BD ⊥ (ACE)

• AC, OQ ⊂ (ACE)

  OQ ⊥ (ABC)

  AC ∩ OQ = {O}

  AC ⊥ BD (átlók)

  ezért OQ ⊥ BD

  BD ⊥ OQ, BD ⊥ AC ezért BD ⊥ (ACE)

Az ABCDEFGH kockában

AC ⋂ BD = {O}

EG ⋂ FH = {Q}

Igazold, hogy AC ⊥ BH!

• AC ⊥ OQ, AC ⊥ BD ezért AC ⊥ (BDH)

  AC, OQ ⊂ (BDH)

  OQ ⊥ (ABC)

  AC ⊥ BD (átlók)

  tehát AC ⊥ BH

  ezért OQ ⊥ AC

  AC ∩ OQ = {O}

• AC, OQ ⊂ (BDH)

  AC ∩ OQ = {O}

  OQ ⊥ (ABC)

  ezért OQ ⊥ AC

  AC ⊥ BD (átlók)

  AC ⊥ OQ, AC ⊥ BD ezért AC ⊥ (BDH)

  tehát AC ⊥ BH

• OQ ⊥ (ABC)

  AC, OQ ⊂ (BDH)

  tehát AC ⊥ BH

  ezért OQ ⊥ AC

  AC ⊥ BD (átlók)

  AC ∩ OQ = {O}

  AC ⊥ OQ, AC ⊥ BD ezért AC ⊥ (BDH)

• AC ⊥ BD (átlók)

  AC ⊥ OQ, AC ⊥ BD ezért AC ⊥ (BDH)

  AC ∩ OQ = {O}

  AC, OQ ⊂ (BDH)

  ezért OQ ⊥ AC

  tehát AC ⊥ BH

  OQ ⊥ (ABC)

Az ABCDEFGH kockában

AC ⋂ BD = {O}

EG ⋂ FH = {Q}

Igazold, hogy OQ ∥ AE!

• OQ ⊥ ABFE

  AE ⊥ ABFE

  ezért OQ ∥ AE.

  (ugyanarra a síkra merőleges két egyenes párhuzamos egymással)

• OQ ⊥ DAEH

  AE ⊥ DAEH

  ezért OQ ∥ AE.

  (ugyanarra a síkra merőleges két egyenes párhuzamos egymással)

• OQ ⊥ DBFH

  AE ⊥ DBFH

  ezért OQ ∥ AE.

  (ugyanarra a síkra merőleges két egyenes párhuzamos egymással)

• OQ ⊥ ABCD

  AE ⊥ ABCD

  ezért OQ ∥ AE.

  (ugyanarra a síkra merőleges két egyenes párhuzamos egymással)