ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ_ΑΚΡΟΤΑΤΟ_ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

Για τη συνάρτηση f του διπλανού σχήματος,

ισχύει f(x) ≥ 1, για κάθε x∈ℝ.

• Σ Ω ΣΤ Ο

• Λ Α Θ Ο Σ

Έστω f η συνάρτηση του διπλανού σχήματος.

Η ανίσωση f(x) > 1, αληθεύει . . .

• για κάθε x∊ℝ

• για κάθε x∊ℝ - {1}

• για κάθε x∊ℝ - {3}

Έστω f η συνάρτηση του διπλανού σχήματος.

Η εξίσωση f(x) = 1, αληθεύει . . .

• για κάθε x∊ℝ

• μόνο για x = 1

• μόνο για x = 3

Η συνάρτηση f : ℝ→ℝ είναι κυρτή και

η ευθεία y = λx + β εφαπτομένη της.

Ποιες είναι οι λύσεις της ανίσωσης

f(x) ≥ λx + β ;

• όλα τα x∊ℝ

• το x = x_o

• η ανίσωση είναι αδύνατη.

Answer explanation

Εφόσον η f είναι κυρτή,

η C_f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από την εφαπτομένη της, με εξαίρεση το σημείο επαφής x_o, όπου είναι ίσες.

Η συνάρτηση f : ℝ→ℝ είναι κυρτή και

η ευθεία y = λx + β εφαπτομένη της.

Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης

f(x) - β = λx ;

• όλα τα x∊ℝ

• το x = x_o

• η ανίσωση είναι αδύνατη.

Answer explanation

Η εξίσωση f(x) - β = λx είναι ισοδύναμη με την f(x) = λx + β.

Η f είναι κυρτή, οπότε η C_f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από την εφαπτομένη της, με εξαίρεση το σημείο επαφής x_o, όπου είναι ίσες.

Άρα, η ισότητα ισχύει μόνο στο σημείο επαφής.

Στο διπλανό σχήμα, η f είναι κοίλη, η g κυρτή και εφάπτονται στο σημείο με τετμημένη x_o.

Τι από τα παρακάτω ισχύει για κάθε x∈ℝ ;

• f(x) > g(x)

• f(x) < g(x)

• f(x) ≤ g(x)

• f(x) ≥ g(x)

Answer explanation

Λόγω κυρτότητας κι εφαπτομένης y = λx + β, ισχύουν τα εξής

f(x) ≤ λx + β και g(x) ≥ λx + β, για κάθε x∈ℝ.

Δηλαδή f(x) ≤ λx + β ≤ g(x), για κάθε x∈ℝ.

Οι ισότητες ισχύουν για x = x_o, που είναι το κοινό σημείο επαφής.

Στο διπλανό σχήμα, η C_f και η C_g εφάπτονται

στο σημείο με τετμημένη x_o.

Είναι αλήθεια ότι

f(x_o) = g(x_o) και f΄(x_o) = g΄(x_o) ;

• Ν Α Ι

• Ο Χ Ι

Για να εφάπτονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f , g σε ένα σημείο με τετμημένη xo, αρκεί να ισχύει

f(x_o) = g(x_o) και f΄(x_o) = g΄(x_o) ;

• Ν Α Ι

• Ο Χ Ι

Για να εφάπτονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f , g σε ένα σημείο με τετμημένη xo,

είναι αρκετό να ισχύει η ισότητα f΄(x_o) = g΄(x_o) ;

• Ν Α Ι

• Ο Χ Ι

Answer explanation

Στα διπλανά σχήματα, ισχύει η ισότητα f΄(xo) = g΄(xo), aλλά οι συναρτήσεις εφάπτονται μόνο στο ένα.

Επομένως, η ισότητα δεν είναι αρκετή.

Είναι αλήθεια ότι

για να εφάπτονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f , g σε ένα σημείο με τετμημένη x_o,

είναι αρκετό να ισχύει η ισότητα f(x_o) = g(x_o) ;

• Ν Α Ι

• Ο Χ Ι

Answer explanation

Η ισότητα f(x_o) = g(x_o) είναι αναγκαία, για να έχουν κοινό σημείο, αλλά

δεν είναι αρκετή.

Στα διπλανά σχήματα, ισχύει η ισότητα αλλά οι συναρτήσεις εφάπτονται μόνο στο ένα.