Sean $$X$$ un espacio métrico, $$Y\subset\ X$$ un subespacio y $$B,V\subset\ Y$$ . Entonces $$V$$ es abierto en $$Y$$ si, y sólo si,

existe un conjunto $$V_2\subset\ X$$ abierto en $$X$$ tal que $$V=V_2\cap\ Y.$$

existe un conjunto $$V_2\subset\ X$$ abierto en $$X$$ tal que $$V=V_2\cup\ Y.\ $$

existe un conjunto $$V_2\subseteq\ \ X$$ abierto en $$X$$ tal que $$V=V_2\cap\ Y.$$

existe un conjunto $$V_2\subseteq\ \ X$$ abierto en $$X$$ tal que $$V=V_2\cup\ Y.$$

Sean $$X$$ un espacio métrico, $$Y\subset\ X$$ un subespacio y $$B,V\subset\ Y$$ . Entonces $$B$$ es cerrado en $$Y$$ si, y sólo si,

existe un conjunto $$B_2\subset\ X$$ cerrado en $$X$$ tal que $$B=B_2\cap\ Y.$$

existe un conjunto $$B_2\subseteq\ X$$ cerrado en $$X$$ tal que $$B=B_2\cap\ Y.$$

existe un conjunto $$B_2\subseteq\ X$$ cerrado en $$X$$ tal que $$B=B_2\cup\ Y.$$

existe un conjunto $$B_2\subset\ X$$ cerrado en $$X$$ tal que $$B=B_2\cup\ Y.$$

Sean $$X$$ un espacio métrico y $$Y\subset\ X$$ un subespacio. Si $$Y$$ es completo,

entonces $$Y$$ es un subespacio cerrado en $$X$$ .

entonces $$X$$ es un espacio completo.

entonces $$Y$$ es un subespacio acotado en $$X$$ .

entonces $$X$$ es un espacio cerrado.

Sean $$X$$ un espacio métrico y $$Y\subset\ X$$ un subespacio. Si $$Y$$ es cerrado en $$X$$ y $$X$$ es completo, entonces

$$Y$$ es un subespacio completo de $$X$$ .

$$Y$$ es un subespacio compacto de $$X$$ .

$$Y$$ es un subespacio completo de $$X$$ .

Sean $$X,Y$$ espacios métricos, $$f:X\to\ Y$$ y $$p\in\ X$$ . Entonces $$f$$ es continua en $$p$$ si, y solo si,

para toda sucesión $$\left\{x_n\right\}\subset\ X$$ que converge a $$p$$ se cumple que $$f\left(x_n\right)\to\ f\left(x\right)$$

existe una sucesión $$\left\{x_n\right\}\subset\ X$$ que converge a $$p$$ en la cual $$f\left(x_n\right)\to\ f\left(x\right)$$

existe una sucesión $$\left\{x_n\right\}\subset\ Y$$ que converge a $$p$$ en la cual $$f\left(x_n\right)\to\ f\left(x\right)$$

para toda sucesión $$\left\{x_n\right\}\subset\ Y$$ que converge a $$p$$ se cumple que $$f\left(x_n\right)\to\ f\left(x\right)$$

Sean $$X,Y$$ espacios métricos y $$f:X\to\ Y$$ . Entonces los siguientes incisos son equivalente $$\left(i\right)\ f$$ es continua...

$$f\left(\overline{A}\right)\subset\ \overline{f\left(A\right)}$$ para cada $$A\subset\ X$$ .

$$f^{-1}\left(V\right)$$ es abierto en $$X$$ para cada $$V\subset\ Y$$ abierto en $$Y$$ .

$$f^{-1}\left(B\right)$$ es cerrado en $$X$$ para cada $$B\subset\ Y$$ cerrado en $$Y.$$

$$f^{-1}\left(V\right)$$ es abierto en $$X$$ para cada $$V\subset\ Y$$ abierto en $$X$$ .

Sean $$X$$ un espacio métrico y $$K\subset\ X$$ . Decimos que $$K$$ es secuencialmente compacto si cada sucesión $$\left\{x_n\right\}\subset\ K$$ ___

tiene una subsucesión que converge en $$K$$

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