Wstęp do teorii miary - sigma algebry i funkcje mierzalne

Podać definicję topologii

• Topologia to rodzaj układu graficznego w komputerach.

• Topologia to technika programowania w języku C.

• Topologia to forma sztuki nowoczesnej.

Sformułować wniosek z twierdzenia o mierzalności sup i inf

• czy umiesz je udowodnić?

• Nie, nie potrafię tego udowodnić.

• Może, ale potrzebuję więcej czasu.

• Nie jestem pewien, co to znaczy.

Sformułować wniosek z twierdzenia o mierzalności liminf i limsup

• czy umiesz je udowodnić?

• Nie, nie potrafię tego udowodnić.

• Możliwe, że potrafię, ale nie jestem pewien.

• To jest zbyt skomplikowane, aby to udowodnić.

Sformułować twierdzenie o funkcji zespolonej f=u+iv

• Funkcja zespolona f=u+iv jest ciągła, jeśli u i v są ciągłe.

• Funkcja zespolona f=u+iv jest holomorficzna, jeśli spełnia równanie Cauchy'ego-Riemanna.

• Funkcja zespolona f=u+iv ma zawsze postać f(z)=z^2.

Podać definicję części dodatniej funkcji f

• Część dodatnia funkcji f to zbiór wszystkich x, dla których f(x) < 0.

• Część dodatnia funkcji f to zbiór wszystkich x, dla których f(x) = 0.

• Część dodatnia funkcji f to zbiór wszystkich x, dla których f(x) jest stała.

Sformułować twierdzenie o mierzalności sup i inf

• Supremum jest mierzalne, infimum nie.

• Infimum jest mierzalne, supremum nie.

• Supremum i infimum są mierzalne, jeśli zbiór jest ograniczony.

Podać definicję przestrzeni topologicznej

• Zbiór punktów, w którym każda para punktów ma wspólny otwarty zbiór.

• Zbiór punktów z określonymi właściwościami, który jest otwarty na operacje topologiczne.

• Zbiór punktów, który jest zawsze ograniczony i zwarty.

Podać definicję zbiorów borelowskich na X

• Zbiory borelowskie są to zbiory, które są zawsze niepustymi zbiorami.

• Zbiory borelowskie są to zbiory, które są zamknięte w stosunku do operacji dopełnienia i przeliczalnych unii.

• Zbiory borelowskie są to zbiory, które są zawsze skończone.

Sformułować twierdzenie o złożeniu odwzorowań ciągłych

• czy umiesz je udowodnić?

• Jakie są podstawowe właściwości odwzorowań ciągłych?

• Jakie są przykłady odwzorowań ciągłych?

• Jakie są zastosowania odwzorowań ciągłych?

Podać definicję σ-algebry

• Zbiór wszystkich podzbiorów danej przestrzeni, który jest zamknięty na operacje dopełnienia i unii skończonych

• Zbiór wszystkich podzbiorów danej przestrzeni, który zawiera tylko zbiory otwarte

• Zbiór wszystkich podzbiorów danej przestrzeni, który jest zamknięty na operacje dopełnienia i przecięcia