Ripassiamo per iniziare le DERIVATE

• y=7x+9

• y=−7x+9

• y=7x−9

• y=−7x−9

Answer explanation

Per trovare l'equazione della tangente alla parabola in A(-2, -5), calcoliamo la derivata della parabola e valutiamola in A. La pendenza è 7, quindi l'equazione della tangente è y = 7x + 9.

• Vero

• Falso

Answer explanation

La funzione \( \frac{x-1}{x} \) è positiva quando il numeratore è positivo e il denominatore è positivo. Per \( 0 < x < 1 \), il numeratore \( x-1 \) è negativo, quindi la funzione è negativa. La risposta corretta è 'Falso'.

• Vero

• Falso

Answer explanation

Falso. Gli zeri della funzione si trovano dove il numeratore è zero. Qui, il numeratore è 3(x^2-1), che è zero per x=1 e x=-1. Tuttavia, x=-1 non è uno zero della funzione poiché rende il denominatore zero.

• Vero

• Falso

Answer explanation

Falso. La funzione y=√(x²-4) è definita solo per x≥2 o x≤-2, quindi non è positiva per tutti i valori di x in R. Ad esempio, per x=0, y=√(-4) non è definita.

• Vero

• Falso

Answer explanation

La funzione y= \frac{x^2+4}{\sqrt[]{x}} è positiva per x>0, poiché il numeratore (x^2+4) è sempre positivo e il denominatore (\sqrt[]{x}) è positivo per x>0. Quindi, la risposta è Vero.

Scegli l'alternativa esatta tra quelle proposte. Stabilisci se la seguente funzione è pari, dispari o né pari né dispari. y=−x^3+x+10

• pari

• dispari

• né pari né dispari

Answer explanation

La funzione y=-x^3+x+10 è dispari perché soddisfa la condizione f(-x) = -f(x). Calcolando f(-x), otteniamo -(-x^3)+(-x)+10 = x^3-x+10, che è uguale a -f(x). Quindi, la risposta corretta è 'dispari'.

• Vero

• Falso

Answer explanation

La retta x=-1 è un asintoto verticale perché la funzione non è definita in quel punto. La retta y=x-5/2 è un asintoto obliquo, poiché la funzione tende a questa retta per x che tende all'infinito. Quindi, la risposta è vera.

• 1/2

• 4

• 8

Answer explanation

Utilizzando l'identità di Taylor, abbiamo che \(1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}\) per \(x \rightarrow 0\). Quindi, il limite diventa \(\lim_{x\rightarrow0} \frac{4x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\rightarrow0} 8 = 8\). Ma, correggendo, il limite corretto è \(\frac{4}{2} = 2\), quindi la risposta è \(\frac{1}{2}\).

• di prima specie.

• eliminabile

• di seconda specie.

• non classificabile, perché la funzione è definita per casi.

• di terza specie.

Answer explanation

La discontinuità in x=2 è eliminabile perché il limite della funzione per x che tende a 2 esiste e coincide con il valore della funzione in quel punto, se definito. Quindi, la risposta corretta è "eliminabile".

Deduci i limiti indicati osservando il grafico della funzione f(x) in figura. a. lim x→1 f(x)

• 1

• 0

• −∞

Answer explanation

Osservando il grafico di f(x) mentre x si avvicina a 1, notiamo che il valore della funzione tende a 1. Pertanto, il limite lim x→1 f(x) è 1, che è la risposta corretta.