Εξέταση στις Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης

Η διαφορική εξίσωση $$\frac{dy}{dt}=y^2$$

Η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι της μορφής $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

Η εξίσωση $$y''+P(x)y'+Q(x)y=0.$$

Η εξίσωση $$y=5x+3y$$

$$y=e^t(t-2)$$

$$y=e^t(t+2)$$

$$y=e^t+2$$

$$y=e^t(t^2+2)$$

$$y=x^2,\ x\ge\ 0$$

$$y=-x^2,\ x<0$$

$$y(x)=e^x+x-1,\ x\ge\ 0$$

$$y(x)=e^x-x-1,\ \ x\le\ 0$$ .

$$y(x)=e^x-x+1,\ x\ge\ 0$$ $$y\left(x\right)=e^x-x,\ \ x<0$$

$$y(x)=e^{-x}+x,\ x\ge\ 0,\ y(x)=e^{-x}-x,\ x<0$$

$$u=y^n$$

$$u=p(t)y+q(t)$$

$$u=y^{\left(n-1\right)}$$

$$u=y^{\left(1-n\right)}$$

$$y(x)=\sqrt{\frac{1}{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}e^{4x}}}$$

$$y(x)=\sqrt{\frac{1}{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}e^{2x}}}$$

$$y(x)=\frac{2}{\sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}e^{4x}}}$$

$$y(x)=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}e^{4x}}}$$

Χρήση ολοκληρωτικού παράγοντα για άμεση λύση.

Αντικατάσταση $$y\left(t\right)=u\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$ όπου

$$y_1\left(t\right)$$

είναι μια γνωστή ειδική λύση

Μετασχηματισμός με

$$y=vt$$

Αντικατάσταση

$$y=e^u$$

για να μετατραπεί σε Bernoulli.

$$v(t)=5e^{\left(-2t\right)}$$

$$v(t)=5e^{2t}$$

$$v(t)=\frac{5}{2}e^{-t}$$

$$v(t)=10-5e^{-2t}$$

$$h(t,y)=e^{-t}$$

$$h(t,y)=\frac{\cos t}{y^2}$$

$$h(t,y)=\sin t$$

$$h(t,y)=\frac{2t}{y^{ }}$$