Πυθαγόρειο Θεώρημα

Ας θεωρήσουμε μία ευθεία ε και ένα σημείο Α που δεν ανήκει σε αυτή. Το ίχνος Αʹ της καθέτου που φέρουμε από το Α προς την ε το λέμε ορθή προβολή ή απλώς προβολή του Α στην ευθεία ε. Αν το σημείο είναι σημείο της ευθείας, π.χ. το Β, τότε ως προβολή του Βʹ πάνω στην ε θεωρούμε το ίδιο το Β. Τέλος ορθή προβολή του τμήματος ΓΔ πάνω στην ευθεία ε λέμε το τμήμα ΓʹΔʹ που έχει ως άκρα τις ορθές προβολές Γʹ, Δʹ των άκρων Γ, Δ, αντίστοιχα, του τμήματος ΓΔ πάνω στην ε.

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα.

Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσα ΒΓ. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι ΑΒ² = ΒΓ ∙ ΒΔ και ΑΓ² = ΒΓ ∙ ΓΔ.

Διαιρώντας τις ΑΒ² = ΒΓ ∙ ΒΔ και ΑΓ² = ΒΓ ∙ ΓΔ κατά μέλη προκύπτει το εξής πόρισμα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα.

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Θέλουμε δηλαδή (σχ.2) να αποδείξουμε ότι AB2 + ΑΓ2 = ΒΓ2 ή α2 = β2 + γ2.

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2, τότε Â = 1∟.

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα.

Έστω ΑΔ το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ (σχ.4), που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι ΑΔ2 = ΒΔ ∙ ΔΓ.