Free Printable Integration von x³ im Bereich 0 bis b

1.

Was ist bei dieser Integration anders als zu vorherigen?

a)

Die Integration findet für das Intervall [0;b] statt

b)

Die Einteilung findet wieder in n ∈ ℕ gleich große Teilintervalle statt, da sie jedoch Teilintervalle von b sind, ist $\Delta x=\frac{b}{n}$

c)

Es wird eine andere Formel für die Summe der ersten n Kubikzahlen verwendet ( $\frac{1}{4}m^2\cdot\left(m+1\right)^2$ )

d)

Es wird zum ersten Mal der Limes verwendet

2.

$O_n=\frac{b}{n}\cdot\left(\frac{1b}{n}\right)^3+\frac{b}{n}\cdot\left(\frac{2b}{n}\right)^3+...+\frac{b}{n}\cdot\left(\frac{n\cdot b}{n}\right)^3$

a)

Aufstellen der Summengleichung für die Obersumme mit bereits ausformulierten Funktionstermen z.B.: $\left(\frac{1b}{n}\right)^3$

b)

Einsetzen der Formel für die Summe der ersten n natürlichen Kubikzahlen $1^3+2^3+...+n^3=\frac{1}{4}\cdot n^2\cdot\left(n+1\right)^2$

3.

$=\frac{b}{n}\cdot1^3\cdot\frac{b^3}{n^3}+\frac{b}{n}\cdot2^3\cdot\frac{b^3}{n^3}+...+\frac{b}{n}\cdot n^3\cdot\frac{b^3}{n^3}$

a)

Umschreiben der ausformulierten Funktionsterme in natürliche Kubikzahlen mal $\frac{b^3}{n^3}$

b)

Bilden des Limes für n gegen unendlich, d.h. Ersetzen von n durch 0 und Notation zu endgültigem $\frac{b^4}{4}$

4.

$=\frac{b^4}{n^4}\cdot\left(1^3+2^3+...+n^3\right)$

a)

Ausklammern der zu $\frac{b^4}{n^4}$ zusammengefassten gebrochenen Faktoren. In der Klammer steht nun die Summe der ersten n natürlichen Kubikzahlen.

b)

Kürzen des Multiplikationsterms durch Aufteilen von $n^4$ im Nenner auf die Zähler $n^2$ und $\left(n+1\right)^2$

5.

$=\frac{b^4}{n^4}\cdot\frac{1}{4}\cdot n^2\cdot\left(n+1\right)^2$

a)

Einsetzen der Formel für die Summe der ersten n natürlichen Kubikzahlen $1^3+2^3+...+n^3=\frac{1}{4}\cdot n^2\cdot\left(n+1\right)^2$

b)

Aufstellen der Summengleichung für die Obersumme mit bereits ausformulierten Funktionstermen z.B.: $\left(\frac{1b}{n}\right)^3$

6.

$=\frac{b^4\cdot1\cdot n^2\cdot\left(n+1\right)^2}{n^4\cdot4}=\frac{b^4}{4}\cdot\frac{n^2}{n^2}\cdot\frac{\left(n+1\right)^2}{n^2}=\frac{b^4}{4}\cdot\frac{n^2}{n^2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^2$

a)

Kürzen des Multiplikationsterms durch Aufteilen von $n^4$ im Nenner auf die Zähler $n^2$ und $\left(n+1\right)^2$

b)

Umschreiben des $\frac{n+1}{n}$ - Terms zu Summen natürlicher Zahlen und $\frac{1}{n}$ - Bruch (quasi ein gemischter Bruch)

7.

$=\frac{b^4}{4}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^2$

a)

Umschreiben des $\frac{n+1}{n}$ - Terms zu Summen natürlicher Zahlen und $\frac{1}{n}$ - Bruch (quasi ein gemischter Bruch)

b)

Umschreiben der ausformulierten Funktionsterme in natürliche Kubikzahlen mal $\frac{b^3}{n^3}$

8.

$\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{b^4}{4}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{b^4}{4}\cdot\left(1+\frac{1}{0}\right)=\frac{b^4}{4}\cdot1=\frac{b^4}{4}$

a)

Bilden des Limes für n gegen unendlich, d.h. Ersetzen von n durch 0 und Notation zu endgültigem $\frac{b^4}{4}$

b)

Umschreiben des $\frac{n+1}{n}$ - Terms zu Summen natürlicher Zahlen und $\frac{1}{n}$ - Bruch (quasi ein gemischter Bruch)

Integration von x³ im Bereich 0 bis b

Total questions: 8

Worksheet time: 4mins

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