$A_{∆MNC}=$
$A_{ABCD}-\left(A_{∆AMN}+A_{∆BMC}+A_{∆CDN}\right)$
$A_{ABCD}=L+l=25\ cm^2.$
$A_{∆AMN}=\frac{cat_1·cat_2}{2}=25\ cm^2$
$A_{∆BMC}=\frac{cat_1·cat_2}{2}=\frac{75}{2}cm^2$
$A_{∆CDN}=\frac{cat_1·cat_2}{2}=25\ cm^2$

$A_{∆MNC}=$
$A_{ABCD}-\left(A_{∆AMN}+A_{∆BMC}+A_{∆CDN}\right)$ $A_{ABCD}=L·l=150\ cm^2$ $A_{∆AMN}=\frac{cat_1·cat_2}{2}=25\ cm^2$ $A_{∆BMC}=\frac{cat_1·cat_2}{2}=\frac{75}{2}cm^2$ $A_{∆CDN}=\frac{cat_1·cat_2}{2}=25\ cm^2$

$A_{∆MNC}=\frac{125}{2}cm^2$

$A_{∆MNC}=125\ cm^2$

m∢CMN se determină din aria triunghiului , care este egală cu semiprodusul a două laturi şi sinusul unghiului format de ele.
$A_{∆MNC}=MN·MC·\sin∢NMC$

m∢CMN se determină din aria triunghiului , care este egală cu semiprodusul a două laturi şi sinusul unghiului format de ele.
$A_{∆MNC}=\frac{MN·MC·\sin∢NMC}{2}$

MN în ∆MAN, m∢A=90°, T.P. ⇒ $MN=5\sqrt{5}cm.$
MC în ∆MBC, m∢B=90°, T.P. ⇒ $MC=10\sqrt{5\ }cm.$

MN în ∆MAN, m∢A=90°, T.P. ⇒ $MN=5\sqrt{5}cm.$
MC în ∆MBC, m∢B=90°, T.P. ⇒ $MC=5\sqrt{10}\ cm.$

Înlocuim în aria triunghiului MNC
⇒ sin ∢NMC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⇒m∢CMN=45°.

Înlocuim în aria triunghiului MNC
⇒ sin ∢NMC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⇒m∢CMN=60°.

AC este diagonală în pătrat
⇒ AC= $l\sqrt{2}=12\sqrt{2}cm.$

AC în ∆ABC , m∢B=90°, T.P.
⇒ $AC=12\sqrt{3}cm.$

O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din plan.
C'O ∥ AB' , AB' ⊂ (AB'C') ⇒ C'O ∥ (AB'C').

O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din plan.
Fie O' intersecţia diagonalelor pătratului A'B'C'D'.
$AO=O'C'=\frac{l\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}cm.$
AO ∥ O'C' ( din (ABCD) ∥ (A'B'C'D') )
⇒AOC'O' paralelogram ⇒
C'O ∥ O'A , O'A ⊂ (AB'D') ⇒ C'O ∥ (AB'D').

O dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.

O dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe o dreaptă din plan.

B'D' ⊥ A'C'
CC' ⊥ ( A'B'C'D') ⇒ CC' ⊥ B'D',
B'D' ⊥ CC', B'D' ⊥A'C'
⇒ B'D' ⊥ (ACC'A')
A'C ⊂ (ACC'A') ⇒ B'D' ⊥A'C
⇒A'C ⊥ B'D'

B'D' ⊥ A'C', A'C' ⊂ (ACC'A')
⇒B'D' ⊥(ACC'A').
AC'⊂(ACC'A') ⇒ B'D' ⊥A'C
⇒A'C ⊥ B'D'.

Demonstrăm că A'C ⊥ AO'.
Pentru aceasta, demonstrăm că ∆AEO' este dreptunghic în E, cu reciproca teoremei lui Pitagora.
Folosim teorema fundamentală a asemănării pentru
∆ ACE şi ∆ O'A'E.
AC ∥ A'O' şi secanta A'C
⇒ ∆ACE ∼ ∆O'A'E (∢A≡∢O' şi ∢C≡∢A' , unghiuri alterne interne congruente ).

Demonstrăm că A'C ⊥ AO'.
Pentru aceasta, demonstrăm că ∆AEO' este dreptunghic în E, cu reciproca teoremei lui Pitagora.
Folosim teorema fundamentală a asemănării pentru
∆ACE şi ∆O'A'E.
AC ∥ A'O' şi secanta A'C ⇒ ∆ACE ∼∆A'O'E .

∆ACE ∼ ∆O'A'E⇒
$\frac{AC}{O'A'}=\frac{CE}{A'E}=\frac{AE}{O'E}$
⇒ $\frac{12√2}{6\sqrt{2}}=\frac{CE}{A'E}=\frac{AE}{O'E}$
A'C diagonală în cub ⇒ $A'C=l\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ $CE=A'C-AE=12\sqrt{2}-AE$

∆ACE ∼ ∆O'A'E⇒
$\frac{AC}{O'A'}=\frac{CE}{A'E}=\frac{AE}{O'E}$
⇒ $\frac{12√2}{6\sqrt{2}}=\frac{CE}{A'E}=\frac{AE}{O'E}$
A'C diagonală în cub ⇒ $A'C=l\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
$CE=A'C-A'E=12\sqrt{3}-A'E$

∆ACE ∼ ∆O'A'E⇒
$\frac{2}{1}=\frac{12\sqrt{2}-A'E}{A'E},\ \ A'E=4\sqrt{2}$

∆ACE ∼ ∆O'A'E
$\frac{2}{1}=\frac{12\sqrt{3}-A'E}{A'E}⇒\ A'E=4\sqrt{3}$

∆ACE ∼ ∆O'A'E⇒
$\frac{AC}{O'A'}=\frac{CE}{A'E}=\frac{AE}{O'E}$
⇒ $\frac{12√2}{6\sqrt{2}}=\frac{CE}{A'E}=\frac{AE}{O'E}$
AE=AO' - O'E
AO' în ∆A'AC, m∢A=90°,T.P.⇒ $AO'=6\sqrt{6}$

$AE=6\sqrt{6}-O'E$

∆ACE ∼ ∆O'A'E⇒
$\frac{AC}{O'A'}=\frac{CE}{A'E}=\frac{AE}{O'E}$
⇒ $\frac{12√2}{6\sqrt{2}}=\frac{CE}{A'E}=\frac{AE}{O'E}$
AE = AO' - O'E
AO'în ∆AA'O', m∢A=90°,T.P. ⇒ $AO'=6\sqrt{3}$ .
$AE=6\sqrt{3}-O'E$

∆ACE ∼ ∆O'A'E⇒
$\frac{2}{1}=\frac{6\sqrt{6}-O'E}{O'E},\ \ O'E=2\sqrt{6}$

∆ACE ∼ ∆O'A'E
$\frac{2}{1}=\frac{6\sqrt{3}-O'E}{O'E}⇒\ O'E=2\sqrt{3}$

În ∆A'O'E ⇒ $A'O'=6\sqrt{2}$ , $A'O'^2=A'E^2+EO'^2$
$O'E=2\sqrt{6}$
Folosim reciproca teoremei lui Pitagora ,pentru a stabili dacă triunghiul este dreptunghic.
$A'O'^2=A'E^2+EO'^2$
$\left(6\sqrt{2}\right)^2=\left(4\sqrt{3}\right)^2+\left(2\sqrt{6}\right)^2$
12 =12 + 12 (fals) ⇒∆A'O'E nu este dreptunghic.

În ∆A'O'E folosim reciproca teoremei lui Pitagora pentru a stabili dacă triunghiul este dreptunghic
$A'O'=6\sqrt{2}$ , $A'E=4\sqrt{3}$ ,
$O'E=2\sqrt{6}$
$A'O'^2=A'E^2+EO'^2$
$\left(6\sqrt{2}\right)^2=\left(4\sqrt{3}\right)^2+\left(2\sqrt{6}\right)^2$
72 =48 + 24 (adevărat) ⇒∆A'O'E este dreptunghic, cu ipotenuza A'O' şi m∢E=90°
⇒A'E ⊥EO' ⇒A'C ⊥AO'

O dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.
A'C ⊥ B'D'
A'C ⊥ AO'
⇒ A'C ⊥ (AB'D')

O dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe o dreaptă din plan.
A'C ⊥ B'D' ⇒ A'C ⊥ (AB'D')