Free Printable ENVIII-Matematică-2020-Simulare 2015-Subiectul al III-lea

1.

Figura alăturată este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E ∈ (AB) , F ∈ (CD) astfel încât AE = CF = 1hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF. Calculaţi lungimea aleii EF.

a)

EF în ∆ EMF, m∢M=90° , T.P.
⇒ $EF=3\sqrt{2}\ hm.$

b)

EF în ∆EMF, m∢M=90°, T.P.
⇒ EF =5 hm.

2.

Figura alăturată este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E ∈ (AB) , F ∈ (CD) astfel încât AE = CF = 1hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF. Arătaţi că traseul E→P→D şi aleea EF au aceeaşi lungime.

a)

Traseul E→P→D este suma lungimilor segmentelor EP+PD.

Segmentul DP reprezintă drumul cel mai scurt de la punctul D la dreapta EF ⇒ DP ⊥EF

⇒ ∆ DPE este dreptunghic în P.

b)

Traseul E→P→D este suma lungimilor segmentelor EP+PD.

Segmentul DP reprezintă drumul cel mai scurt de la punctul D la dreapta EF ⇒ DP = DE

3.

Figura alăturată este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E ∈ (AB) , F ∈ (CD) astfel încât

AE = CF = 1hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF. Arătaţi că traseul E→P→D şi aleea EF au aceeaşi lungime.

a)

DE în ∆DAE, m∢A=90°, T.P.
⇒ DE = 4 hm.
EP în ∆DPE , m∢P =90°, T.P.

b)

DE în ∆DAE, m∢A=90°, T.P.
⇒ DE = $\sqrt{10}hm.$
EP în ∆DPE, m∢P=90°, T.P.

4.

Figura alăturată este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E ∈ (AB) , F ∈ (CD) astfel încât

AE = CF = 1hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF. Arătaţi că traseul E→P→D şi aleea EF au aceeaşi lungime.

a)

Se observă că DP şi ER sunt înălţimi în ∆DEF.
ER= AD=3 hm , DF = 4 hm , iar $EF=3\sqrt{2}\ hm.$
Folosim aria triunghiului DEF
$A_{∆DEF}=\frac{b·h}{2}=\frac{EF·DP}{2}=\frac{DF·ER}{2}$
⇒ $DP=2\sqrt{2}hm.$

b)

Se observă că DP şi ER sunt înălţimi în ∆DEF.
ER= AD=3 hm , DF = 4 hm , iar $EF=\sqrt{10}\ hm.$
Folosim aria triunghiului DEF $A_{∆DEF}=\frac{b·h}{2}=\frac{EF·DP}{2}=\frac{DF·ER}{2}$ ⇒
$DP=4\sqrt{2}hm.$

5.

Figura alăturată este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E ∈ (AB) , F ∈ (CD) astfel încât

AE = CF = 1hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF. Arătaţi că traseul E→P→D şi aleea EF au aceeaşi lungime.

a)

DE în ∆DAE, m∢A=90°, T.P. ⇒ $DE=\sqrt{10}hm.$ ,
$DP=2\sqrt{2}hm.$
EP în ∆DPE , m∢P=90°, T.P. ⇒ $EP=\sqrt{2}hm.$

b)

DE în ∆DAE, m∢A=90°, T.P. ⇒ $DE=\sqrt{10}hm.$
$DP=2\sqrt{2}hm$
EP în ∆DPE, m∢P=90°, T.P.⇒ $EP=3\sqrt{2}hm.$

6.

Figura alăturată este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E ∈ (AB) , F ∈ (CD) astfel încât

AE = CF = 1hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF. Arătaţi că traseul E→P→D şi aleea EF au aceeaşi lungime.

a)

$DP=2\sqrt{2}hm,\ EP=\sqrt{2}hm$
$DP+EP=3\sqrt{2}hm$
$EF=3\sqrt{2}hm\$ ⇒ $DP+EP=EF=3\sqrt{2}hm$ ⇒Traseul E→P→D şi aleea EF au aceeaşi lungime.

b)

$DP+PE=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\ hm$ $EF=3\sqrt{2}hm\$ ⇒DP+PE diferit de EF⇒ Traseul E→P→D şi aleea EF nu au aceeaşi lungime.

7.

Figura alăturată este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E ∈ (AB) , F ∈ (CD) astfel încât

AE = CF = 1hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF. Demonstraţi că patrulaterul DPBQ este paralelogram.

a)

Patrulaterul DPEQ este paralelogram dacă două laturi opuse ale sale sunt paralele şi congruente.

Se observă că DP⊥EF şi BQ⊥EF, deoarece sunt drumurile cele mai scurte de la D, respectiv B, la dreapta EF

⇒ DP ∥ BQ.

b)

Patrulaterul DPEQ este paralelogram dacă laturile opuse sunt paralele două câte două.

DP ∥ BQ

DQ ∥ BP ⇒

DPBQ paralelogram

8.

Figura alăturată este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E ∈ (AB) , F ∈ (CD) astfel încât

AE = CF = 1hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF. Demonstraţi că patrulaterul DPBQ este paralelogram.

a)

Ştim că DP ∥ BQ.
Demonstrăm că DP =BQ
$DP=2\sqrt{2}hm.$
BQ în ∆EFB , folosind aria triunghiului EFB. $A_{∆EFB}=\frac{b·h}{2}=\frac{EF·BQ}{2}=\frac{EB·FS}{2}$ ⇒ $BQ=4\sqrt{2}hm.$

b)

Ştim că DP ∥ BQ.
Demonstrăm că DP =BQ
$DP=2\sqrt{2}hm.$
BQ în ∆EFB , folosind aria triunghiului EFB.
$A_{∆EFB}=\frac{b·h}{2}=\frac{EF·BQ}{2}=\frac{EB·FS}{2}$
⇒ $BQ=2\sqrt{2}$
⇒ BQ=DP
BQ∥DP
⇒DEPQ paralelogram.

9.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA=8 cm şi AB=8 cm. Punctele E şi F sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv BC. Punctul M este situat pe muchia VB astfel încât EM ⊥ VB. Calculaţi aria triunghiului BEF.

a)

∆BEF echilateral,
$A_{∆BEF}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}cm^2$

b)

ABCD pătrat ⇒∆BEF dreptunghic isoscel, m∢B=90°
$A_{∆BEF}=\frac{cat_1·cat_2}{2}=\frac{EB·FB}{2}=8\ cm^2$

10.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA=8 cm şi AB=8 cm. Punctele E şi F sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv BC. Punctul M este situat pe muchia VB astfel încât EM ⊥ VB. Determinaţi măsura unghiului format de dreapta VD cu planul (ABC).

a)

Măsura unghiului format de o dreaptă cu un plan este egală cu măsura unghiului format de dreaptă cu proiecţia ei pe plan.

(ABC) = (ABCD).

Proiecţia lui V pe (ABCD) este punctul O , aflat la intersecţia diagonalelor AC şi BD.

Proiecţia lui D pe planul (ABCD) este D, deoarece D ∈(ABCD).

Proiecţia lui VD pe (ABCD ) este OD.

m∢(VD, (ABCD)) = m∢(VD, OD ) = m∢VDO.

b)

Măsura unghiului format de o dreaptă cu un plan este egală cu măsura unghiului format de dreaptă cu proiecţia ei pe plan.

(ABC) = (ABCD).

Proiecţia lui V pe (ABCD) este punctul O , aflat la intersecţia diagonalelor AC şi BD.

Proiecţia lui D pe planul (ABCD) este D, deoarece D ∈(ABCD).

Proiecţia lui VD pe (ABCD ) este OD.

m∢(VD, (ABCD)) = m∢(VD, OD ) = m∢DVO.

11.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA=8 cm şi AB=8 cm. Punctele E şi F sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv BC. Punctul M este situat pe muchia VB astfel încât EM ⊥ VB. Determinaţi măsura unghiului format de dreapta VD cu planul (ABC).

a)

m∢VDO în ∆VDO, m∢VOD=90°, $\cos∢VDO=\frac{cat.alăt.}{ip.}=\frac{DO}{VD}$ $DO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}cm.$
cos∢VDO= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⇒m∢VDO=60°⇒
m∢(VD, (ABCD))=m∢(VD,OD)
=m∢VDO=60°

b)

m∢VDO în ∆VDO, m∢VOD=90°, $\cos∢VDO=\frac{cat.alăt.}{ip.}=\frac{DO}{VD}$
$DO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}cm.$
cos∢VDO= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⇒m∢VDO=45°⇒
m∢(VD, (ABCD))=m∢(VD,OD)
=m∢VDO=45°

12.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA=8 cm şi AB=8 cm. Punctele E şi F sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv BC. Punctul M este situat pe muchia VB astfel încât EM ⊥ VB. Demonstraţi că muchia VB este perpendiculară pe planul (EMF).

a)

O dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.

Din ipoteză, EM ⊥ VB.

Demonstrăm că FM ⊥ VB.

Pentru aceasta, comparăm

∆ EBM şi ∆ FBM

b)

O dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.

Din ipoteză, EM ⊥ VB

FM ⊥ VB

EM ∩ FM = {M}

⇒VB ⊥ (EMF)

13.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA=8 cm şi AB=8 cm. Punctele E şi F sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv BC. Punctul M este situat pe muchia VB astfel încât EM ⊥ VB. Demonstraţi că muchia VB este perpendiculară pe planul (EMF).

a)

∆ EBM şi ∆ FBM au :

EB = FB = 4 cm

∢EBM = ∢FBM (feţele laterale ale piramidei sunt congruente)

BM = BM (latură comună)

⇒ ∆ EBM ≡ ∆ FBM (cazul L.U.L.)

⇒ m∢EMB = m∢FMB = 90° (deoarece EM ⊥ VB)

VB ⊥ EM

VB ⊥ FM

EM ∩ FM = {M}

⇒ VB ⊥ (EMF)

b)

∆ EBM şi ∆ FBM au :

EB = FB = 4 cm

EM = FM

BM = BM (latură comună )

⇒ ∆ EBM ≡ ∆ FBM (cazul L.L.L.)

⇒ m∢EMB = m∢FMB = 90° (deoarece EM ⊥ VB)

VB ⊥ EM

VB ⊥ FM

EM ∩ FM = {M}

⇒ VB ⊥ (EMF)

ENVIII-Matematică-2020-Simulare 2015-Subiectul al III-lea

Total questions: 13

Worksheet time: 42mins

Similar Resources on Wayground