Free Printable Slučajni procesi I

1.

U jednostavnom procesu grananja (Galton-Watsonovom procesu) slučajna varijabla $X_n$ modelira broj jedinki u n-toj generaciji promatrane populacije, a slučajna varijabla $Z_{n,k}$ broj potomaka koje u n-tu generaciju daje k-ta jedinka iz generacije (n-1).

Od sljedećih tvrdnji odaberite sve koje su točne za ovaj slučajni proces:

a)

$X_0=1,\ X_n=\sum_{k=1}^{X_{n-1}}Z_{n,k}\ ,\$ $n\ \in\left\{1,\ 2,\ \ldots\right\}$

b)

$X_0=0,\ X_n=\sum_{k=1}^{X_{n-1}}Z_{n,k}\ ,\$ $n\ \in\left\{1,\ 2,\ \ldots\right\}$

c)

$X_0=1,\ X_n=\sum_{k=1}^nX_k\ ,\$ $n\ \in\left\{1,\ 2,\ \ldots\right\}$

d)

$X_0=0,\ X_n=\sum_{k=1}^nX_k\ ,$ $n\ \in\left\{1,\ 2,\ \ldots\right\}$

2.

Odaberite sve točne tvrdnje koje se odnose na igru na sreću u kojoj kockar igra dok ne izgubi sve ili dok ne osvoji N kn, pri čemu u svakoj partiji igre osvaja 1 kn s vjerojatnošću $p\ \in\left\langle0,\ 1\right\rangle$ , odnosno gubi 1 kn s vjerojatnošću $\left(1-p.\right)$

a)

$P\left(X_n=i\ |X_{n-1}=j\right)=1,$ $j=i=N$

b)

$P\left(X_n=i\ |X_{n-1}=j\right)=0,$ $j=i=0$

c)

$P\left(X_n=i\ |X_{n-1}=j\right)=p,$ $j=i-1,i\ \ne1$

d)

$P\left(X_n=i\ |X_{n-1}=j\right)=1-p,$ $i=j+1,j\ne N$

3.

Odaberite sve tvrdnje koje tu uvijek točne za funkciju prijelaznih vjerojatnosti $p\left(i,n;n+1,j\right)=P\left(X_{n+1}=j\ |\ X_n=i\right)$ homogenog Markovljevog lanca $\left(X_n,\ n\ \in N_0\right)$ sa skupom stanja $S.$

a)

$p\left(i,n;n+1,j\right)=p\left(i,m;m+1,j\right),$ $\forall n,m\ \in N_0$

b)

$p\left(i,n;n+1,j\right)=p\left(i,n+1;n+2,j\right),$ $\forall n\ \in N_0$

c)

$p\left(i,n;n+1,j\right)=p\left(j,n;n+1,i\right),$ $\forall n\ \in N_0$

d)

$p\left(i,n;n+k,j\right)=p\left(i,m;m+k,j\right),$ $\forall m,\ n\ \in N_{0\ }i\ \forall k\ \in N$

4.

Za prijelazne vjerojatnosti $\left(\lambda,\ \Pi\right)$ -Markovljevog lanca $\left(X_n,\ n\in N_0\right)$ vrijede Chapmann-Kolmogorovljeve jednadžbe. Označite sve što ih točno karakterizira za proizvoljna stanja $i,\ j\ \in S$ i proizvoljan trenutak $r\in\left\{0,1,\ldots,m-1\right\}:$

a)

$p_{ij}^{\left(m\right)}=\sum_{k\in S}^{ }p_{ik}^{\left(r\right)}p_{kj}^{\left(m-r\right)}$

b)

$p_{ij}^{\left(m\right)}=\sum_{k\in S}^{ }p_{ki}^{\left(r\right)}p_{ij}^{\left(m-r\right)}$

c)

$\Pi^m=\Pi^r\Pi^{m-r}$

d)

$p_{ij}^{\left(m\right)}=\sum_{j\in S}^{ }p_{kj}^{\left(r\right)}p_{ji}^{\left(m-r\right)}$

5.

Neka je $\left(X_n,\ n\in N_0\right)$ homogeni $\left(\lambda,\Pi\right)$ -Markovljev lanac na vjerojatnosnom prostoru $\left(\Omega,\ F,\ P\right)$ i $T_B$ vrijeme prvog pogađanja podskupa B njegovog skupa stanja S. Odaberite sve tvrdnje koje su točne za skup $\left\{T_B<\infty\right\}:$

a)

$\left\{T_B<\infty\right\}\in F$

b)

$\left\{T_B<\infty\right\}$ je događaj

c)

$\left\{T_B<\infty\right\}=\cup_{n=0}^{\infty}\ \left\{X_n\in B\right\}$

d)

$\left\{T_B<\infty\right\}=\cap_{n=0}^{\infty}\ \left\{X_n\in B\right\}$

6.

Neka je $\left(X_n,\ n\in N_0\right)$ homogeni $\left(\lambda,\ \Pi\right)$

-Markovljev lanac sa skupom stanja S. Označite sve tvrdnje koje uvijek karakteriziraju dostižnost stanja $j\in S$ iz stanja $i\in S\$ :

a)

$P\left(T_j<\infty\ |X_0=i\right)>0,$ $T_j=\min\left\{n\in N_0:\ X_n=j\right\}$

b)

$p_{ij}^{\left(n\right)}>0$ za neki $n\ \in N_0$

c)

$p_{ij}^{\left(n\right)}>0$ za sve $n\ \in N_0$

d)

$j$ je dostižno iz $i$ samo ako postoji $k\ \in S$ takvo da je $k$ dostižno iz $i$ i $j$ dostižno iz $k$

Slučajni procesi I - 1. kviz

Total questions: 6

Worksheet time: 12mins

Similar Resources on Wayground