Free Printable Olimpiada Națională GAZETA MATEMATICĂ Clasa a VIII-a Etapa I

1.

Se consideră mulțimea

A=\left\{x\in R;\ 4\le\left|3x-7\right|<6\right\}

Atunci :

a)

$A=\left[\frac{11}{3},\frac{13}{3}\right]$

b)

$A=\left(\frac{1}{3},1\right]\cup\left[\frac{11}{3},\frac{13}{3}\right)$

c)

$A=\left[\frac{1}{3},\frac{13}{3}\right)$

d)

$A=\left(-\infty,1\right]\cup\left[\frac{11}{3},\infty\right)$

e)

$A=\left(-\infty,1\right]\cup\left[\frac{11}{3},\frac{13}{3}\right)$

2.

Dacă x∈[−3,4], atunci valoarea expresiei

E\left(x\right)=\left|x-4\right|+\left|x+3\right|

este:

a)

7

b)

-7

c)

2x+1

d)

2x-1

e)

-1

3.

Dacă $x\in\left(-2,5\right)\ si\ y\in\left(-3,4\right)$ atunci numărul
$a=\sqrt{\left(x+y-9\right)^2}+\sqrt{\left(x+y+5\right)^2}$ este egal cu:

a)

-14

b)

-4

c)

14

d)

2x+2y-4

e)

-2x-24-14

4.

Se cosideră numerele reale x și y care îndeplinesc condiția

a)

$x<y$

b)

$x>y$

c)

$x\le y$

d)

$x\ge2y$

e)

$x=2y$

5.

Daca a este un număr real nenul care verifică relația
$a+\frac{1}{a}=5$ , atunci $a^4+\frac{1}{a^4}\ este\ egala\ cu:$

a)

504

b)

527

c)

625

d)

727

e)

620

6.

Se consideră numărul real $x=\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{9-4\sqrt{2}}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}$
Atunci:

a)

$x\in Q-Z$

b)

$x\in Z-N$

c)

$x\in N$

d)

$x\in Q-N$

e)

$x\in R-Q$

7.

Numărul real a verifică egalitatea $a^2+3a=2$
Atunci valoarea expresiei $E\left(a\right)=\left(a-2\right)\left(a-1\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\ este:$

a)

16

b)

14

c)

-16

d)

32

e)

28

8.

Numărul de perechi (a,b) de numere naturale pentru care a+b=5 și valoarea sumei $s=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ e maximă este:

a)

4

b)

2

c)

1

d)

3

e)

5

9.

Fie x,y numere reale. Dacă $\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1$ , atunci x+y este egală cu:

a)

4

b)

2

c)

1

d)

3

e)

5

10.

Fie $M=\left\{\left(p,q,r\right)\in N\times N\times N\ ;\ pq-4=r^4,\ p,q,r\ prime\right\}$ Cardinalul mulțimii M este:

a)

2

b)

4

c)

1

d)

3

e)

6

11.

Fie $F\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(3x+4\right),\ x\in R$

Valoarea minimă a expresiei este egală cu:

a)

-9

b)

-8

c)

8

d)

7

e)

-5

12.

$Fie\ \ N=x^{2021}+y^{2021}+z^{2021\ }$

unde x,y,z sunt numere reale nenule cu x+y+z=6 și xy+yz+zx=12. Atunci ultima cifră a numărului N este:

a)

2

b)

6

c)

4

d)

0

e)

8

13.

$\left(x-2y\right)^2+\left(x-3y\right)^2=2\$

Numărul de soluții întregi ale ecuației este:

a)

3

b)

4

c)

5

d)

0

e)

6

14.

Numărul de plane determinate de 5 puncte, oricare 3 necoliniare și oricare 4 necoplanare este:

a)

10

b)

15

c)

6

d)

8

e)

5

15.

Fie SABCD o piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile egale cu 12 cm.

Măsura unghiului dintre SC și AD este:

a)

$30\degree$

b)

$90\degree$

c)

$60\degree$

d)

$45\degree$

e)

$15\degree$

16.

Fie SABCD o piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile egale cu 12 cm.

Distanța de la A la planul (SDB) este egală cu:

a)

$12\sqrt{2}$

b)

$6\sqrt{3}$

c)

$6\sqrt{2}$

d)

$12$

e)

$2\sqrt{3}$

17.

Fie SABCD o piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile egale cu 12 cm.

Sinusul unghiului format de două apoteme ale piramidei situate în fețe laterale opuse este:

a)

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

b)

$\frac{2\sqrt{3}}{5}$

c)

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

d)

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

e)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

18.

Fie O,A,B,C patru puncte necoplanare astfel încât OA,OB,OC,OD sunt două câte două perpendiculare.
Dacă notăm

S_1=A_{OAB},\ S_2=A_{OBC},\ S_3=A_{OAC},\ S_4=A_{ABC},\ atunci:

a)

$S_4=\frac{S_1+S_2+S_3}{3}$

b)

$S_4=\frac{S_1+S_2+S_3}{2}$

c)

$S_4=S_1+S_2+S_3$

d)

$S_4=S_1^2+S_2^2+S_3^2$

e)

$S_4^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$

19.

Fie O,A,B,C patru puncte necoplanare astfel încât OA,OB,OC,OD sunt două câte două perpendiculare. Dacă notăm cu O' proiecția lui O pe planul (ABC), atunci O' este pentru triunghiul ABC:

a)

centrul cercului circumscris

b)

ortocentrul

c)

centrul de greutate

d)

mijlocul lui [BC]

e)

centrul cercului înscris

20.

ABCDA'B'C'D'este un cub de latură l.

Distanța de la B' la AC' este egală cu:

a)

$l\sqrt{6}$

b)

$\frac{l\sqrt{6}}{3}$

c)

$\frac{l\sqrt{3}}{3}$

d)

$\frac{3l}{2}$

e)

$\frac{l\sqrt{2}}{6}$

21.

ABCDA'B'C'D' este un cub de latură l

Măsura unghiului dintre B'C și AC' este:

a)

$0\degree$

b)

$30\degree$

c)

$60\degree$

d)

$90\degree$

e)

$45\degree$

22.

ABCDA'B'C'D' este un cub de latură l.

Măsura unghiului dintre AC' și planul (A'BD) este:

a)

$60\degree$

b)

$90\degree$

c)

$0\degree$

d)

$30\degree$

e)

$45\degree$

23.

ABCDA'B'C'D' este un cub cu latura l.
Dacă P este mijlocul lui [AA'], Q mijlocul lui [CC'],

D'Q\cap CD=\left\{N\right\}

, atunci MN are lungimea:

a)

$l\sqrt{2}$

b)

$l\sqrt{3}$

c)

$2l\sqrt{2}$

d)

$4l$

e)

$2l$

24.

ABCDA'B'C'D' este un cub cu latura l.

Atunci aria patrulaterului D'PBQ este egală cu:

a)

$\frac{l^2\sqrt{3}}{2}$

b)

$\frac{l^2\sqrt{6}}{2}$

c)

$\frac{l^2\sqrt{2}}{6}$

d)

$\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

e)

$\frac{l^2\sqrt{6}}{3}$

Olimpiada Națională GAZETA MATEMATICĂ Clasa a VIII-a Etapa I

Total questions: 24

Worksheet time: 12mins

Similar Resources on Wayground