Free Printable Toán 12 (Min Max hình học không gian)

1.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là điểm thuộc đoạn SO sao cho $SI=\frac{1}{3}SO$ . Mặt phẳng $\alpha$ thay đổi đi qua B và I. $\left(\alpha\right)$ cắt các cạnh SA, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Gọi m và n, lần lượt là GTLN, GTNN của $\frac{V_{S.BNPM}}{V_{S.ABCD}}$ . Tính $\frac{m}{n}$

a)

$2$

b)

$\frac{7}{5}$

c)

$\frac{9}{5}$

d)

$\frac{8}{5}$

2.

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $a\sqrt{3}$ , $\angle SAB=\angle SCB=90^o$ . Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S. ABC có thể tích nhỏ nhất.

a)

$2a\sqrt{2}$

b)

$\frac{3a\sqrt{2}}{2}$

c)

$3a$

d)

$3a\sqrt{2}$

3.

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a ,góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng alpha. Tìm alpha để thể tích S ABCD là lớn nhất.

a)

30 độ

b)

45 độ

c)

60 độ

d)

75 độ

e)

90 độ

4.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = b và vuông góc với (ABCD) . Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM .Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABH theo a và b.

a)

$\frac{a^2b}{24}$

b)

$\frac{a^2b}{6}$

c)

$\frac{a^2b}{18}$

d)

$\frac{a^2b}{12}$

e)

$\frac{a^2b}{24}$

5.

Gọi x, y, z là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng giấy dạng hình hộp chữ nhật không có nắp trên (hình vẽ). S là tổng diện tích xung quanh và đáy còn lại. Trong các thùng có cùng diện tích S, tìm tổng x + y + z theo S của chiếc thùng có thể tích lớn nhất.

a)

$\frac{5S\sqrt{3}}{6}$

b)

$\frac{S\sqrt{3}}{6}$

c)

$\frac{5S\sqrt{3}}{2}$

d)

$\frac{S\sqrt{3}}{9}$

e)

$\frac{S\sqrt{3}}{3}$

6.

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ và O là tâm của đáy. Mặt phẳng (P) thay đổi chứa SO và cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại các điểm M, N (M N, khác A). Khi góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (P) có số đo lớn nhất, hãy tính $AM^2+AN^2$

a)

$a^2$

b)

$\frac{3a^2}{4}$

c)

$\frac{369a^2}{400}$

d)

$\frac{8a^2}{9}$

7.

Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Đặt x = SD $\left(0<x<\sqrt{3}\right)$ . Tìm x theo a để tích AC.SD đạt giá trị lớn nhất.

a)

$\frac{a\sqrt{3}}{3}$

b)

$\frac{a\sqrt{6}}{3}$

c)

$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

d)

$\frac{a\sqrt{6}}{2}$

8.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại M và N. Đặt $V_1=V_{S.AMKN}\ ,V_2=V_{S.ABCD}$ . Tìm $\max\ \frac{V_1}{V}+\min\frac{V_1}{V}$

a)

$\frac{1}{2}$

b)

$\frac{1}{3}$

c)

$\frac{17}{5}$

d)

$\frac{17}{24}$

9.

Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông, AB = 1, cạnh bên SA = 1 và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho $\angle MAN=45^o$ . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.AMN là ?

a)

$\frac{\sqrt{2}-1}{6}$

b)

$\frac{\sqrt{2}+1}{3}$

c)

$\frac{\sqrt{2}-1}{3}$

d)

$\frac{\sqrt{2}+1}{9}$

10.

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 3a và AC = a. Mặt phẳng (DBC), (DAC), (DAB) lần lượt tạo với mặt phẳng (ABC) các góc $90^o,\alpha\ ,\ \beta$ trong đó $\alpha+\beta=90^o$ .Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

a)

$\frac{3a^3\sqrt{2}}{10}$

b)

$\frac{3a^3}{13}$

c)

$\frac{3a^3}{8}$

d)

$\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

11.

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SCD) bằng 2a. Gọi alpha là góc giữa mặt bên hình chóp với đáy của hình chóp đó. Với giá trị nào của alpha thì thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất ?

a)

$\alpha=\arctan\sqrt{\frac{2}{3}}$

b)

$\alpha=45^o$

c)

$\alpha=\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}$

d)

$\alpha=60^o$

e)

$\alpha=\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$

12.

Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Lấy các điểm M, N nằm trên cạnh BC và PQ lần lượt nằm trên cạnh AC và AB sao cho MNPQ là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật $MNPQ.M'N'P'Q'$ nội tiếp trong lăng trụ đều có thể tích lớn nhất là :

a)

$\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

b)

$\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

c)

$\frac{3a^3}{8}$

d)

$\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

13.

Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh SA ; SB ; SC ; SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M'N'P'Q' lần lượt là hình chiếu của M, N, P, Q lên mặt đáy. Tìm tỉ số $\frac{SM}{SA}$ để thể tích khối đa điện $MNPQ.M'N'P'Q'$ lớn nhất.

a)

$\frac{2}{3}$

b)

$\frac{1}{2}$

c)

$\frac{3}{4}$

d)

$\frac{1}{3}$

14.

Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x , các cạnh còn lại đều bằng $2\sqrt{3}$ . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

a)

$x=\sqrt{6}$

b)

$x=\sqrt{14}$

c)

$x=3\sqrt{2}$

d)

$x=2\sqrt{3}$

15.

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi B’D và (B’D’C) đạt giá trị lớn nhất

a)

$x=1$

b)

$x=2$

c)

$x=\sqrt{2}$

d)

$x=0,5$

16.

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BD = CD = 1. Khi thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

a)

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

b)

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

c)

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

d)

$\frac{1}{3}$

17.

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM = x và AN = y. Tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.

a)

$x=y=\frac{2}{3}$

b)

$x=y=\frac{7}{4}$

c)

$x=y=\frac{1}{3}$

d)

$x=\frac{1}{2},\ y=\frac{1}{3}$

18.

Trong mặt phẳng $\alpha$ cho đường tròn $\left(T\right)$ đường kính AB = 2R. Gọi C là một điểm di động trên $\left(T\right)$ . Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $\alpha$ lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ $AH\perp SB$ và $AK\perp SC$ . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK .

a)

$\frac{R^3\sqrt{5}}{25}$

b)

$\frac{R^3\sqrt{5}}{75}$

c)

$\frac{R^3\sqrt{3}}{27}$

d)

$\frac{R^3\sqrt{3}}{9}$

19.

Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = 6 và đôi một vuông góc với nhau. Điểm M thay đổi trong tam giác ABC. Các đường thẳng đi qua M song song DA , DB , DC theo thứ tự cắt các mặt phẳng $\left(DBC\right)\ ,\ \left(DCA\right)\ ,\ \left(DAB\right)$ lần lượt tại $A_1,\ B_1\ ,\ C_1$ . Tìm thể tích lớn nhất của khối tự diện khi $MA_1B_1C_1$ thay đổi.

a)

$\frac{1}{3}$

b)

$\frac{2}{3}$

c)

$2$

d)

$\frac{4}{3}$

20.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , $SA=a\sqrt{3}$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho $\angle MAN=45^o$ . Tính tỉ số giữa giá trị lớn nhất với giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN

a)

$-2+2\sqrt{2}$

b)

$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

c)

$\frac{1+\sqrt{2}}{6}$

d)

$2\sqrt{2}-1$

21.

Một người thợ gò làm một cái thùng đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp bằng tôn. Biết rằng đường chéo hình hộp bằng 6dm và chỉ được sử dụng vừa đủ 36dm vuông tôn. Với yêu cầu như trên người thợ làm được cái thùng có thể tích lớn nhất là V (dm khối). Giá trị của V gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau ?

a)

11,3

b)

11,32

c)

11,31

d)

11,33

22.

Gọi V là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng $\sqrt{3}$ . Khi đó V bằng bao nhiêu ?

a)

$V=9\sqrt{3}$

b)

$V=3$

c)

$V=27$

d)

$V=30\sqrt{3}$

e)

$V=9$

23.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC. Mặt phẳng $\alpha$ qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi $V_1$ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số $\frac{V_1}{V}$ .

a)

$\frac{2}{3}$

b)

$\frac{1}{8}$

c)

$\frac{1}{3}$

d)

$\frac{3}{8}$

24.

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB , AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện DAMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của S ?

a)

$\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$

b)

$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$

c)

$\frac{\sqrt{3}\left(1+\sqrt{2}\right)}{9}$

d)

$\frac{\sqrt{3}\left(4+\sqrt{2}\right)}{9}$

25.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 (m) như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần đậm của tấm nhôm rồi gập lại thành một hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng x (m) sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.

a)

$x=\frac{1}{2}$

b)

$x=2$

c)

$x=\frac{\sqrt{2}}{4}$

d)

$x=\frac{2\sqrt{3}}{5}$

e)

$x=\frac{2\sqrt{2}}{5}$

26.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3a , AC = a. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm D di động trên (Q) sao cho tam giác DBC nhọn và hai mặt phẳng (DAB) và (DAC) lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) hai góc phụ nhau. Thể tích lớn nhất của khối chóp D.ABC bằng

a)

$\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

b)

$\frac{3a^3}{8}$

c)

$\frac{3a^3\sqrt{2}}{10}$

d)

$\frac{3a^3}{13}$

27.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a có cạnh SA = SB = SC = SD = a. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất bằng

a)

$\frac{a^3}{2}$

b)

$\frac{3a^3}{4}$

c)

$\frac{a^3}{4}$

d)

$\frac{3a^3}{2}$

28.

Cho tứ diện OABC vuông tại O, gọi $\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma$ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OAC) với mặt phẳng (ABC). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\tan^2\gamma+\cot^2\alpha+\cot^2\beta+\cot^2\gamma$

a)

$6$

b)

$\frac{15}{2}$

c)

$10$

d)

$\frac{27}{2}$

29.

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Điểm M di động trong tam giác ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với DA, BD, DC lần lượt cắt các mặt (DBC), (DCA), (DAB) tại A'B'C'. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện MA'B'C' bằng

a)

$\frac{V}{27}$

b)

$\frac{V}{9}$

c)

$\frac{V}{18}$

d)

$\frac{V}{54}$

30.

Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình thang cân (AD // BC). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC. Mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D ) và song song với đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ biết $MD=x$ . Tìm $x$ để diện tích thiết diện lớn nhất

a)

$x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

b)

$x=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

c)

$x=a\sqrt{3}$

d)

$x=\frac{a\sqrt{3}}{8}$

31.

Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a có $SA\perp\left(ABC\right)$ và $SA=a$ . M là một điểm thuộc cạnh AB .Kẻ $SH\perp CM$ tại H .Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện S.AHC là

a)

$\frac{a^3}{4}$

b)

$\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

c)

$\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

d)

$\frac{a^3}{12}$

32.

Hình hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ , có đường chéo $AC'=d$ hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc $\alpha$ , hợp với mặt bên (BCC'B') góc $\beta$ . Biết d không đổi,là hình vuông và thể tích khối hộp lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức $\alpha+\beta$ bằng:

a)

$60^o$

b)

$75^o$

c)

$90^o$

d)

$120^o$

33.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh a . M thuộc đoạn thẳng $AC'\ :\ C'M=x\ C'A$ . N thuộc đoạn thẳng $CD':D;N=2x\ CD'$ . Giá trị của x để tứ diện $CC'NM$ có thể tích lớn nhất là:

a)

$\frac{1}{2}$

b)

$\frac{1}{3}$

c)

$\frac{1}{4}$

d)

$\frac{1}{5}$

e)

$\frac{1}{6}$

34.

Cho tứ diện ABCD có AB = 2a ,CD = 2b và các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhất của diện tích toàn phần tứ diện ABCD là

a)

$\frac{\left(ab\right)^3}{12}$

b)

$\frac{\left(ab\right)^3}{6}$

c)

$1$

d)

$\frac{1}{2}$

35.

Cho hình thoi ABCD có $\angle BAD=60^o$ , $AB=2a$ . Gọi H là trung điểm AB , trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S thay đổi khác H . Biết rằng góc giữa SC và (SAD) có số đo lớn nhất khi $SH=a.4_{\sqrt{\frac{m}{n}}}$ (với m n, là các số tự nhiên và m n là phân số tối giản). Khi đó tổng $m+n$ bằng:

a)

21

b)

22

c)

23

d)

25

e)

24

36.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng $a\sqrt{6}$ . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của chóp S.ABCD lớn nhất bằng:

a)

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

b)

$\frac{3}{\sqrt{5}}$

c)

$\sqrt{\frac{2}{5}}$

d)

$\sqrt{\frac{3}{5}}$

37.

Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ . Lấy các điểm E F, lần lượt trên các đoạn $AB,DA'$ thỏa mãn $\frac{3}{7}\times\frac{DA}{DE}+\frac{7}{27}\times\frac{DA'}{DF}=6$ Gọi $V,V_1$ lần lượt là thể tích của khối lăng trụvà khối tứ diện BDEF. Khi đó GTNN của tỉ số $\frac{V_1}{V}$ bằng

a)

$\frac{1}{81}$

b)

$\frac{1}{486}$

c)

$\frac{1}{468}$

d)

$\frac{1}{9}$

e)

$\frac{1}{6561}$

38.

Cho hình chóp S.ABCD có thể tích là V , ABCD là hình bình hành có tâm O. Gọi I là trung điểm của SO , (P) là mặt phẳng qua I sao cho (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích của khối chóp S.MNPQ .

a)

$\frac{V}{4}$

b)

$\frac{V}{2}$

c)

$\frac{V}{12}$

d)

$\frac{V}{8}$

39.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi S là diện tích hình chiếu của tứ diện lên các mặt phẳng khác nhau. Khi đó S lớn nhất bằng ?

a)

$S=a^2$

b)

$S=\frac{a^2}{2}$

c)

$S=\frac{a^2}{4}$

d)

$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

40.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và đường cao $SA=2a$ . MNPQ là thiết diện song song với đáy $M\in SA$ và $AM=x$ . Xét hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ và đường sinh MA. Giá trị của x để thể tích khối trụ lớn nhất là

a)

$x=\frac{a}{3}$

b)

$x=\frac{2a}{3}$

c)

$x=\frac{a}{2}$

d)

$x=\frac{3a}{4}$

41.

Cho tứ diện ABCD nội tiếp trong một mặt cầu bán kính R và thỏa mãn điều kiện AB = CD , BC = AD , AC = BD. M là một điểm thay đổi trong không gian. Đặt P = MA + MB = MC + MD giá trị nhỏ nhất của P là:

a)

$P_{\min}=2R\sqrt{3}$

b)

$P_{\min}=4R$

c)

$P_{\min}=3R$

d)

$P_{\min}=\frac{16R}{3}$

42.

AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x , y chéo nhau, A thuộc x , B thuộc y. Đặt độ dài AB = d. M là điểm thay đổi thuộc x , N là điểm thay đổi thuộc y . Đặt AM = m , BN = n $\left(m\ge0\ ,\ n\ge0\right)$ . Giả sử luôn có: $m^2+n=k>0$ trong đó k là giá trị luôn không đổi. Với giá trị nào của m, n thì độ dài MN nhỏ nhất ?

a)

$m=n=\sqrt{k}$

b)

$m=\sqrt{\frac{k}{2}},\ n=\sqrt{k}$

c)

$m=n=\sqrt{\frac{k}{2}}$

d)

$m=\sqrt{k},\ n=\sqrt{\frac{k}{2}}$

43.

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại B, có các cạnh BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm E của AB, SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC, điểm M di động trên tia đối của tia BA sao cho $\angle ECM\ =\alpha\ \left(\alpha<90\right)$ và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Khi thể tích của khối tứ diện EHIJ đạt giá trị lớn nhất. Thì thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện EHIJ là?

a)

$V=\frac{11\pi a^3\sqrt{11}}{48}$

b)

$V=\frac{\pi a^3\sqrt{10}}{6}$

c)

$V=\frac{3\pi a^3\sqrt{10}}{16}$

d)

$V=\frac{11\pi a^3\sqrt{11}}{24}$

44.

Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200 m, góc $\angle ASB=15^o$ bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó điểm L cố định và LS = 40 m (tham khảo hình vẽ). Khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí ?

a)

$40\sqrt{67}+40\ \left(mét\right)$

b)

$20\sqrt{111}+40\ \left(mét\right)$

c)

$40\sqrt{31}+40\ \left(mét\right)$

d)

$40\sqrt{111}+40\ \left(mét\right)$

45.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Một mặt phẳng (Q) thay đổi luôn song song với mặt phẳng (BCD) cắt các cạnh AB, AC, AD thứ tự tại M, N, P. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPG nhỏ nhất là:

a)

$\frac{a}{3}$

b)

$\frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{3}$

c)

$\frac{a\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{6}$

d)

$\frac{a\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{4}$

46.

Cho tứ diện ABCD có CA = CB = CD = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CB, AD. Gọi G là trung điểm của IJ. Một mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ thay đổi đi qua G sao cho mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ cắt các cạnh CA, CB, CD lần lượt tại các điểm K, E, F. Tìm theo a giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\frac{1}{CK\ ^2}+\frac{1}{CE\ ^2}+\frac{1}{CF\ ^2}$

a)

$\frac{4}{a^2}$

b)

$\frac{16}{3a^2}$

c)

$\frac{16}{a^2}$

d)

$\frac{4}{a^2}$

47.

Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là:

CÚ PHÁP TRẢ LỜI: ''căn bậc 3 là ...''

(a)

48.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng a . Trên đường thẳng AA' lấy điểm M, trên đường thẳng BC lấy điểm N sao cho đường thẳng MN cắt đoạn thẳng D'C' tại điểm I. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN .

a)

2a

b)

3a

c)

$2\sqrt{2}a$

d)

$2\sqrt{3}a$

49.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC vuông tại A , $SA\ \perp\ \left(ABC\right)$ và $SA=h$ không đổi; hai điểm B, C thay đổi sao cho. Gọi I , J là các điểm lần lượt di động trên các cạnh SB và SC . Tính chu vi ngắn nhất của tam giác AIJ .

a)

$h$

b)

$h\sqrt{2}$

c)

$h\sqrt{3}$

d)

$\frac{h\sqrt{3}}{2}$

50.

Cho tứ diện S.ABC và G là trọng tâm của tứ diện. Một mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ quay quanh AG, cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M và N (M , N không trùng S). Gọi V là thể tích tứ diện S.ABC, $V_1$ là thể tích tứ diện S.AMN và gọi m, n lần lượt là GTLN và GTNN của $\frac{V_1}{V}$ . Hãy tính m + n.

a)

$m+n=1$

b)

$m+n=\frac{18}{19}$

c)

$m+n=\frac{17}{18}$

d)

$m+n=\frac{19}{20}$

51.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng $\left(\alpha\right)$ . Thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất khi $\cos\alpha=\sqrt{\frac{a}{b}}$ với $a;b\in N$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $P=a+b$

a)

1

b)

2

c)

4

d)

5

e)

3

52.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh lần lượt $AB=a\ ,\ AD=a\sqrt{2},\ AA'=a\sqrt{3}$ . Gọi G là trung điểm của BD có mặt phẳng (P) đi qua G và cắt các tia $AD'\ ,\ CD'\ ,\ D'B'$ tương ứng tại ba điểm phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{1}{\left(D'H\right)^2}+\frac{1}{\left(D'K\right)^2}+\frac{1}{\left(D'I\right)^2}$ .

a)

$T=\frac{1}{3a^2}$

b)

$T=\frac{4}{a^2}$

c)

$T=\frac{4}{3a^2}$

d)

$T=\frac{1}{12a^2}$

53.

Gọi V là thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b. Tìm giá trị lớn nhất của V ?

a)

$\frac{4b^3}{9\sqrt{3}}$

b)

$\frac{b^3}{3\sqrt{2}}$

c)

$\frac{b^3\sqrt{3}}{12}$

d)

$\frac{2b\sqrt{3}}{9\sqrt{3}}$

54.

Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC = 2a, AB = AD = AC = a (a > 0) . Mặt bên SBC là tam giác đều. Biết SD vuông góc với AC. Mặt phẳng (alpha) qua điểm M thuộc đoạn BD ( M khác B,D) và song song với hai đường thẳng SD và AC. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (alpha) có diện tích lớn nhất là.

a)

$\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$

b)

$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

c)

$2a^2$

d)

$a^2$

55.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC. Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi $V_1$ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{V_1}{V}$ .

a)

$\frac{1}{4}$

b)

$\frac{1}{5}$

c)

$\frac{1}{2}$

d)

$\frac{1}{3}$

56.

Trong các hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a , thể tích khối chóp nhỏ nhất là

a)

$\frac{32}{3}a^3$

b)

$10a^3$

c)

$\frac{10a^3\sqrt{3}}{3}$

d)

$\frac{16}{3}a^3$

57.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 1, các mặt bên là các tam giác có góc ở đỉnh S bằng $45^o$ . Cho A’ là trung điểm SA, C’ thuộc cạnh SC sao cho $\frac{SC}{SC'}=\frac{2}{3}$ . Mặt phẳng (P) đi qua A’ , C’ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’. Số nào gần với giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác A’B’C’D’ .

a)

1

b)

3

c)

4

d)

2

e)

5

58.

Cho hình chóp tứ giác S ABCD . có mặt bên SAB là tam giác đều cạnh bằng $a$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đáy là hình thang vuông tại A và B và $AD+BC=2b$ , với a,b là các số dương cho trước không đổi, C, D là 2 điểm thay đổi. Gọi m là GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD (diện tích toàn phần bằng tổng diện tích tất cả các mặt của hình chóp). Khi đó giá trị $\frac{4m}{a}$ có dạng: $\sqrt{x}.a+y.b+\sqrt{z.a^2+t.b^2}$ với $x,\ y,\ z,\ t$ là các số nguyên dương. Tính tổng $x+y+z+t$

a)

15

b)

19

c)

16

d)

18

e)

17

Toán 12 (Min Max hình học không gian)

Total questions: 58

Worksheet time: 14hrs 16mins

Similar Resources on Wayground