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1.

Num referencial o.n. Oxyz, considere a superfície esférica definida por :

\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-4\right)^2=13

Sabendo que [AB] é um diâmetro da superfície esférica e que o ponto A tem coordenadas (1,-1,2),as coordenadas do ponto B são:

a)

(0,3,2)

b)

(1,5,6)

c)

(1,8,7)

d)

(1,-5,-5)

2.

Considere, num referencial o.n. Oxyz:
- a esfera E definida pela condição:

\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2\le36

- a reta r de equação

\left(x,y,z\right)=\left(1,2,3\right)+k\left(-2,0,1\right),\ k\in R

A interseção da reta r com a esfera E é um segmento de reta.
Qual é o comprimento desse segmento de reta?

a)

8

b)

10

c)

12

d)

14

3.

Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos

A\left(-3\ ,\ -2\ ,\ \sqrt{160}\right)

e

B\left(1\ ,\ -1\ ,\ \sqrt{90}\right)

.

A esfera de diâmetro [AB] tem de centro e raio:

a)

$C\left(1\ ;\ \frac{3}{2}\ ;\ -\frac{7\sqrt{10}}{2}\right)\ ;\ r=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

b)

$C\left(-1\ ;\ -\frac{3}{2}\ ;\ \frac{7\sqrt{10}}{2}\right)\ ;\ r=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

c)

$C\left(-1\ ;\ -\frac{3}{2}\ ;\ \frac{7\sqrt{10}}{2}\right)\ ;\ r=\sqrt{27}$

d)

$C\left(-1\ ;\ -\frac{3}{2}\ ;\ \frac{7\sqrt{10}}{2}\right)\ ;\ r=\frac{27}{4}$

4.

Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos $A\left(-1\ ,\ 2\ ,\ -3\right)$ , $B\left(2\ ,\ -1\ ,\ -3\right)$ e $C\left(-2\ ,\ 0\ ,\ -3\right)$ .

O plano que contém os pontos A, B e C é:

a)

paralelo ao plano xOz

b)

perpendicular ao eixo Ox

c)

perpendicular ao eixo Oz

d)

paralelo ao plano de equação $y=0$

5.

Considere, fixado um referencial do espaço, a esfera definida por $\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-2\right)^2\le9$
e o plano $\theta$ definido pela equação $x=-4$ .
A interseção da esfera com o plano $\theta$ é:

a)

um círculo de centro no ponto de coordenadas (–1 , 3 , 2) e raio 3

b)

o conjunto vazio

c)

o ponto de coordenadas (–4 , 3 , 2)

d)

um círculo de centro no ponto de coordenadas (–4 , 3 , 2) e raio 3

6.

Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a esfera definida por $x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z+4\le0$

A área da secção obtida na esfera por um plano $\alpha$ que passa pelo seu centro é igual a:

a)

$2\pi$

b)

$\sqrt{2}\pi$

c)

$3\pi$

d)

$\sqrt{3}\pi$

7.

Na figura está representado um cubo [OABCDEFG]. Sabe-se que:

O vértice F tem de coordenadas (10,10,10);

O ponto P pertence à reta [EF] e tem ordenada 3;

O ponto Q pertence à reta [DG] e tem ordenada 7;

O ponto S pertence à reta [BC] e tem abcissa 5.

Define por uma condição o plano que contém o ponto S e é paralelo ao plano yOz.

(a)

8.

Na figura está representado um cubo [OABCDEFG]. Sabe-se que:

O vértice F tem de coordenadas (10,10,10);

O ponto P pertence à reta [EF] e tem ordenada 3;

O ponto Q pertence à reta [DG] e tem ordenada 7;

O ponto S pertence à reta [BC] e tem abcissa 5.

Define por uma condição o plano mediador do segmento de reta [DQ].

(a)

9.

Na figura está representado um cubo [OABCDEFG]. Sabe-se que:

O vértice F tem de coordenadas (10,10,10);

O ponto P pertence à reta [EF] e tem ordenada 3;

O ponto Q pertence à reta [DG] e tem ordenada 7;

O ponto S pertence à reta [BC] e tem abcissa 5.

Uma condição da aresta [CG] é:

a)

$x=0\wedge y=10\wedge z\le10$

b)

$x=0\wedge y=10\wedge z\ge10$

c)

$y=10\wedge z=10\wedge0\le z\le10$

d)

$x=0\wedge y=10\wedge0\le z\le10$

10.

Num referencial ortonormado do espaço, considere o ponto P(-1, 2, 3).
O plano paralelo ao plano xOy e que passa pelo ponto P é definido pela condição:

a)

$x=-1$

b)

$y=2$

c)

$z=3$

d)

$x=-1\wedge z=3$

11.

Num referencial ortonormado do espaço, considere o ponto P(-1, 4, 2).
O plano perpendicular ao eixo das ordenadas e que passa pelo ponto P é definido pela condição:

a)

$x=-1$

b)

$y=4$

c)

$z=2$

d)

$x=-1\wedge z=2$

12.

Qual das seguintes afirmações é falsa?

a)

O plano de equação z=-1 é paralelo ao eixo Ox.

b)

O plano de equação z=-1 não contém a origem do referencial.

c)

O plano de equação z=-1 é paralelo ao plano yOz.

d)

O plano de equação z=-1 contém o ponto (2, 3, -1).

13.

Num referencial ortonormado do espaço, os valores de k para os quais o ponto de coordenadas

\left(k^2-1,\ k^2-k,\ k\right)

pertence ao eixo das cotas são:

a)

$0\ e\ 1$

b)

$1$

c)

$-1\ e\ 1$

d)

$-1,\ 0\ e\ 1$

14.

Num referencial ortonormado do espaço, o ponto M(-3, 4, 5) é o ponto médio do segmento [AB], com [AB] contido numa reta paralela ao eixo Ox. O ponto A está contido no plano yOz. Dadas estas condições podemos afirmar que a abcissa de B é:

a)

$-6$

b)

$-3$

c)

$-\frac{3}{2}$

d)

$3$

15.

O cubo representado na figura tem as faces paralelas aos planos coordenados do referencial ortonormado Oxyz e a sua base está contida no plano xOy.
O ponto E tem coordenadas $\left(3,\ 3,\ 6\right)$ .

\overline{AG}\ é\ igual\ a:

a)

$\sqrt{3}$

b)

$4\sqrt{3}$

c)

$6\sqrt{3}$

d)

$2\sqrt{3}$

16.

Na figura está representada uma pirâmide, cuja base é retangular e está contida no plano xOy.
O centro da base da pirâmide coincide com a origem do referencial ortonormado do espaço.
Sabe-se que:
. A, B e C têm coordenadas (3, -4, 0), (3, 4, 0) e (-3, 4, 0), respetivamente;

. O vértice V da pirâmide pertence ao eixo Oz.
Sabendo que

d\left(A,\ V\right)=5\sqrt{2}

, podemos afirmar que as coordenadas de V são:

a)

(0, 0, 3)

b)

(0, 0, 4)

c)

(0, 3, 5)

d)

(0, 0, 5)

17.

Num referencial o.n. do espaço, considere o ponto A de coordenadas (2, 3, 5) e o ponto B de coordenadas (-2, y, z), em que y e z são números reais positivos.
O pontos A e B estão contidos no mesmo plano paralelo a xOy e a distância entre eles é $\sqrt{17}$ .

A ordenada do ponto B é necessariamente:

a)

1 ou 3

b)

$3-\sqrt{17}$

c)

2 ou 4

d)

$3+\sqrt{17}$

18.

Indique a afirmação falsa.

a)

A condição

2<x<4\wedge3<y<5\wedge0<z<2

representa, no espaço, o interior de um cubo.

b)

A condição $x=-3\wedge3<y<5\wedge0<z<2$ representa, no espaço, o interior de um quadrado

c)

A condição $2\le x\le4\wedge y=0\wedge z=7$ representa, no espaço, um segmento de reta.

d)

A condição $x=3\wedge y=5$ representa, no espaço, um ponto.

19.

Sejam A, B, C e D pontos distintos do espaço e P um ponto tal que $\overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}=\overline{PD}$ .

Qual das seguintes afirmações não é necessariamente verdadeira?

a)

P é o ponto médio de [BC].

b)

P pertence ao plano mediador de [AD].

c)

P é centro de uma superfície esférica que contém os pontos A, B, C e D.

d)

Existe uma esfera de centro em P que não contém os pontos A, B, C e D.

20.

Considere num referencial o.n. do espaço os pontos de coordenadas A (-2, 3, 1) e B(2, -5, 0).

Uma condição da esfera de diâmetro [AB] é:

a)

$\left(x-4\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2\le\frac{9}{4}$

b)

$\left(x-2\right)^2+\left(y+5\right)^2+z^2\le81$

c)

$x^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{81}{4}$

d)

$x^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{81}{2}$

21.

Considere a esfera definida pela condição $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+6\le0$ . Podemos afirmar que:

a)

O ponto de coordenadas (1, 1, 0) pertence à esfera.

b)

A esfera tem centro (-2, 4, -6) e raio $\sqrt{6}$

c)

O ponto de coordenadas (-1, 1, 0) pertence à esfera.

d)

A esfera tem centro (1, -2, 3) e raio $\sqrt{8}$

22.

2. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos A(-1,2,-3), B(2,-1,-3) e C(-2,0,-3)

O plano que contém, os pontos A, B e C é:

a)

Perpendicular ao eixo Oz.

b)

Perpendicular ao eixo Ox.

c)

Paralelo ao plano xOz.

d)

Paralelo ao plano de equação y=0

23.

O plano AFB é definido pela equação:

a)

Y = 2

b)

z = 0

c)

X = 0

d)

Z = 2

24.

O plano FGD é definido pela equação:

a)

Y = 2

b)

Y = 4

c)

X = 2

d)

X = 4

25.

O plano BCD é definido pela equação:

a)

Y = 0

b)

X = 2

c)

x = 0

d)

Z = 0

26.

O Plano CEG é definido pela equação:

a)

Y = 2

b)

Z = 2

c)

Z = 4

d)

Y = 4

27.

O plano AEG é definido pela equação:

a)

X = 4

b)

Z = 2

c)

Y = 2

d)

X = 2

28.

Fixado um referencial cartesiano do espaço. considera o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] representado na figura.
Sabe-se que:

A\left(4,0,0\right);B\left(4,4,0\right);C\left(0,4,0\right)e\ H\left(0,0,4\right)

O conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto A é menor ou igual a 5 é definido por:

a)

$x^2+y^2+z^2-8x-9\le0$

b)

$x^2+y^2+z^2+8x-9\le0$

c)

$x^2+y^2+z^2-8x+9\le0$

d)

$x^2+y^2+z^2-8x-9=0$

29.

Fixado um referencial cartesiano do espaço, o ponto

P\left(a^2-5,b,a\right)

pertence ao eixo

Oz

e tem cota positiva.
O valor de

a

e de

b

é, respetivamente:

a)

$a=-\sqrt{5}\ \ e\ \ b=0$

b)

$a=\sqrt{5}\ \ e\ \ b=2$

c)

$a=\sqrt{5}\ \ e\ \ b=0$

d)

$a=\sqrt{5}\ \ e\ \ b=5$

30.

Fixado um referencial ortonormado do espaço, considera os pontos $P\left(0,-2,\ 0\right)$ e $Q\left(2,0,0\right)$ .

Qual dos pontos seguintes pertence ao plano mediador de

\left[PQ\right]

?

a)

$A\left(0,1,-5\right)$

b)

$B\left(1,-1,1\right)$

c)

$C\left(-1,-1,3\right)$

d)

$D\left(-1,0,7\right)$

31.

Considera o cubo

null

representado no referencial ortonormado da figura.

Sabe-se que:
- o vértice O é a origem do referencial;
- os vértice

A

,

C

e

D

pertencem aos semieixos positivos

C

, respetivamente;
- uma equação do plano mediador de

\left[DF\right]

é

x+y=5

.
O volume do cubo é:

a)

$5$

b)

$60$

c)

$25$

d)

$125$

32.

No espaço, em referencial o.n. considera os pontos $A\ \left(-1,5,2\right)$ e $B\ \left(3,-3,0\right)$ . As coordenadas do ponto médio de $\left[AB\right]$ são:

a)

$\left(1,0,1\right)$

b)

$\left(1,1,1\right)$

c)

$\left(0,1,1\right)$

d)

$\left(1,0,0\right)$

33.

No espaço, em referencial o.n. considera a esfera definida pela inequação $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2\le25\ \ .$ Qual dos seguintes planos é tangente à esfera?

a)

$x=5$

b)

$y=7$

c)

$x=4$

d)

$z=-8$

34.

Considera num referencial o.n. $Oxyz$ uma superfície esférica centrada no ponto $A\left(5,-3,6\right)$ e que é tangente ao plano $yOz$ .

A condição que define essa superfície esférica é:

a)

$\left(x-5\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-6\right)^2\le25$

b)

$\left(x-5\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-6\right)^2=\ 9$

c)

$\left(x-5\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-6\right)^2=25$

d)

$\left(x-5\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-6\right)^2=36$

35.

Em relação a um referencial o.n. $Oxyz$ , uma esfera é definida pela equação $x^2+y^2+z^2+6\left(y-z\right)\le2x+4$ .

As coordenadas do centro e do raio desta esfera são:

a)

$C\left(2,6,-6\right)$ e $r=4$

b)

$C\left(1,3,-3\right)$ e $r=23$

c)

$C\left(1,3,-3\right)$ e $r=\sqrt{23}$

d)

$C\left(1,-3,3\right)$ e $r=\sqrt{23}$

36.

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta 2.
Sabe-se que:
• a face [ABCD] está contida no plano xOy;
• a aresta [CD] está contida no eixo Oy;
• o ponto D tem coordenadas $\left(0,2,0\right)$
Os pontos de coordenadas $\left(2,2,0\right)$ e $\left(0,4,0\right)$ são vértices do cubo. Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?

a)

ABC

b)

AGC

c)

BDH

d)

BCF

37.

Em relação a um referencial o.n. Oxyz, uma superfície esférica é definida pela equação $\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2=12$ .
Um plano do tipo $x=k$ é tangente à superfície esférica.
Os possíveis valores de k são:

a)

$\left\{-\sqrt{12},\sqrt{12}\right\}$

b)

$\left\{-2\sqrt{3}\ ,\ 2\sqrt{3}\right\}$

c)

$\left\{2+2\sqrt{3}\ \ ,\ \ 2-2\sqrt{3}\right\}$

d)

$\left\{-2+2\sqrt{3}\ \ ,\ \ -2-2\sqrt{3}\right\}$

38.

Considera, fixado num referencial cartesiano do espaço o ponto $A\left(2,-3,-4\right)$ .

Qual das seguintes condições pode definir a reta paralela ao eixo Oy que passa no ponto A?

a)

$y=-3\ \ \wedge\ \ z=-4$

b)

$x=2\ \ \wedge\ \ y=-3$

c)

$x=2\ \ \wedge\ \ z=-4$

d)

$x=2\ \ \wedge\ \ z=-3$

39.

Considera fixado num referencial cartesiano do espaço os pontos $P\left(1,3,-2\right)$ e $R\left(5,-1,k\right)$ onde k é um número real.

Sabe-se que a distância ente P e R é igual a 6 unidades.

Qual das opções poderá ser ser o valor de k?

a)

$-2$

b)

$-3$

c)

$-4$

d)

$-6$

40.

$2x+2y+z=4$ é a equação cartesiana do plano $ACD$ .

A medida do volume do paralelepípedo é igual a:

a)

$16$

b)

$8$

c)

$8\sqrt{2}$

d)

$4$

41.

Num referencial o.n. Oxyz, considere os pontos A (3, 2, 1) e B (3, –4, 2k), com k um número real.
Quais os valores de k, tal que a distância de A a B é 10.

a)

$k=-\frac{7}{2}\vee k=\frac{9}{2}$

b)

$k=-\frac{9}{2}\vee k=\frac{7}{2}$

c)

$k=\frac{1-\sqrt{6}}{2}\vee k=\frac{1+\sqrt{6}}{2}$

d)

Não existem k de modo que a distância entre A e B seja 10

42.

Num referencial o.n. Oxyz, considere os pontos A (3,2,1) e B (2,–1,3).

Qual a equação da superfície esférica de centro B e que contém A.

a)

$\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2=14$

b)

$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=14$

c)

$\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2=7$

d)

$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=7$

43.

Qual a condição que defina a esfera tangente ao plano yOz e de centro no ponto de coordenadas (–3, –1, 5).

a)

$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-5\right)^2\le9$

b)

$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-5\right)^2\le3$

c)

$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-5\right)^2=3$

d)

$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-5\right)^2=9$

44.

A interseção da superfície esférica de equação reduzida

$x^2+y^2+z^2=25$
com o plano de equação cartesiana y = 3 é uma circunferência. Qual é o centro e o raio?

a)

Centro (0, 0, 0) e raio 5

b)

Centro (0, 3, 0) e raio 5

c)

Centro (0, 3, 0) e raio 4

d)

Centro (0, 3, 0) e raio 3

45.

No referencial ortonormado Oxyz da figura está representado um prisma em que um dos vértices é a origem do referencial, a base [OABC] está contida no plano xOy e D(4, –5, –2) .
A equação $y=-\frac{5}{2}$ define analiticamente:

a)

o plano mediador de [AE]

b)

uma reta perpendicular a Oy

c)

o plano mediador de [BC]

d)

um plano paralelo a xOy

46.

No referencial ortonormado Oxyz da figura está representado um prisma em que um dos vértices é a origem do referencial, a base [OABC] está contida no plano xOy e D(4, –5, –2) .

Um sistema de equações cartesianas que define a reta BD é:

a)

$y=-5\ \wedge\ z=-2$

b)

$x=4\ \wedge\ z=-2$

c)

$x=4\ \wedge\ y=-5$

d)

$x=4\ \wedge\ z=0$

47.

Num referencial o.n. Oxyz , a reta definida pelo sistema
$x=3\ \wedge\ z=2$ é:

a)

paralela ao eixo Oz

b)

paralela ao plano xOy

c)

perpendicular ao plano xOy

d)

paralela ao eixo Ox

48.

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um cubo de aresta 2 .

Sabe-se que:

• a face [ABCD] está contida no plano xOy ;

• a aresta [DC] está contida no eixo Oy ;

• o ponto D tem coordenadas (0, 2, 0) ;

• os pontos de coordenadas (2, 2, 0) e (0, 4, 0) são vértices do cubo.

Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?

a)

ABC

b)

ACG

c)

BDH

d)

BCF

49.

Dado um referencial o.n. no espaço, o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos pontos A(3, 0, 0) e B(5, 0, 0) é:

a)

o plano de equação $x=4$

b)

o plano de equação $y=4$

c)

a reta AB

d)

a circunferência de raio $\overline{AB}$

50.

Num referencial ortonormado Oxyz , a condição $\left(x-2\right)^2+y^2+\left(z+3\right)^2\le16$ define uma esfera inscrita num cilindro.

Seja $C$ o centro da esfera e $h$ a altura do cilindro. Então:

a)

$C\ \left(-2,\ 0,\ 3\right)$ e $h=4$

b)

$C\ \left(2,\ 0,\ -3\right)$ e $h=4$

c)

$C\ \left(2,\ 0,\ -3\right)$ e $h=8$

d)

$C\ \left(-2,\ 0,\ 3\right)$ e $h=8$

51.

Num referencial o.n. Oxyz , considere os pontos P(0, 0, 4) e Q(0, 4, 0) .

Qual dos seguintes pontos pertence ao plano mediador do segmento de reta [PQ]?

a)

A (1, 0, 0)

b)

B (1, 2, 0)

c)

C (2, 1, 0)

d)

D (1, 0, 2)

52.

No referencial o.n. Oxyz , está representada uma superfície esférica inscrita num cubo.

O cubo tem aresta 4 e as arestas [OA] , [OC] e [OD] estão contidas nos semieixos positivos Ox , Oy e Oz , respetivamente.

Qual a equação cartesiana da superfície esférica?

a)

$\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2+\left(z-4\right)^2=4$

b)

$x^2+y^2+z^2=16$

c)

$\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-2\right)^2=4$

d)

$\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-2\right)^2=16$

53.

No referencial o.n. Oxyz , está representada uma superfície esférica inscrita num cubo.

O cubo tem aresta 4 e as arestas [OA] , [OC] e [OD] estão contidas nos semieixos positivos Ox , Oy e Oz , respetivamente.

Numa das opções seguintes estão as coordenadas de um ponto pertencente a uma das arestas do cubo. Em qual?

a)

$\left(2,\ 3,\ 1\right)$

b)

$\left(2,\ 2,\ 4\right)$

c)

$\left(2,\ 4,\ 0\right)$

d)

$\left(0,\ 3,\ 3\right)$

54.

No referencial o.n. Oxyz está representada uma pirâmide quadrangular regular de altura 5 .

A base [ABCO] tem área 16 e os pontos A e C pertencem aos semieixos positivos Ox e Oy , respetivamente.

Qual das equações define um plano a que pertence o vértice V da pirâmide?

a)

$y=x$

b)

$x=z$

c)

$y=5$

d)

$x=4$

55.

As condições que, no espaço, definem dois planos paralelos são:

a)

$x=0$ e $y=4$

b)

$z=0$ e $y=4$

c)

$z=0$ e $z=4$

d)

$y=0$ e $x=4$

56.

Num referencial o.n. Oxyz , a condição
$y=4\ \wedge\ z=2\ \wedge\ -2\le x\le2$
define analiticamente:

a)

um plano

b)

uma reta

c)

um retângulo

d)

um segmento de reta

GX1z0 - G1X0E

Total questions: 56

Worksheet time: 28mins

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