Різницею векторів та називають суму векторів та (−1), тобто = +(−1) .

Упорядкована трійка одиничних попарно ортогональних векторів називається ортонормованим базисом. Позначають ортонормований базис через вектори , , що за напрямом збігаються з осями Ох, Оу, Оz.

Довільний вектор можна подати у вигляді = + + або = (; ; ).

Якщо точка (1; 1; 1) − початок вектора, а точка (2; 2; 2) − його кінець, то = (2−1; 2−1; 2−1).

Довжину вектора =(; ; ) шукають | | = √2+2+2.

Вектори =(; ; ) і =(; ; ) колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні.

Три вектори, що лежать в одній площині або у паралельних площинах, називаються компланарними.

Вектори =(; ; ), =(; ; ),с =(; ; ) компланарні тоді і лише тоді, коли 22|=0.

Для векторів =(; ; ),=(; ; ) та = виконується: +=(+;+;+); −=(−;−;−);∙=(; ; ).

Напрямними косинусами вектора =(; ; ) називають косинуси кутів

Напрямними косинусами вектора 푎 =(푎 푥 ; 푎 푦 ; 푎 푧 ) називають косинуси кутів 훼,훽,훾, які вектор 푎 утворює з додатними напрямами осей координат:

Ортом 푎 0 ⃗⃗⃗⃗ вектора 푎 називають одиничний вектор, координатами якого є напрямні косинуси: 푎 0 ⃗⃗⃗⃗ = ( cos훼; cos훽;cos훾 )

Нехай задано вектори 푎 і 퐴퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗. Проекцію вектора 퐴퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ на вектор 푎 (позначення пр 푎 ⃗ 퐴퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) обчислюють пр 푎 ⃗ 퐴퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ =|퐴퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos휑, де 휑− кут між 푎 і 퐴퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗.

Приклади розв’язування вправ

Приклад 1. Дано |푎 |=13,|푏 ⃗|=19 і |푎 +푏 ⃗|=24. Обчислити |푎 −푏 ⃗|.

Розвʼязання. Зобразимо на рисунку 푎 +푏 ⃗та 푎 −푏 ⃗: 23 Рис. 4 Вектори 푎 +푏 ⃗та 푎 −푏 ⃗є діагоналями паралелограма. Для знаходження довжини діагоналі скористаємось наступною властивістю паралелограма: |푂퐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 +|퐴퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 =2(|푂퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 +|푂퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 ). |푎 +푏 ⃗| 2 +|푎 −푏 ⃗| 2 =2( |푎 | 2 +|푏 ⃗| 2 ),|푎 −푏 ⃗| 2 =2 |푎 | 2 +2|푏 ⃗| 2 −|푎 +푏 ⃗| 2 ; |푎 −푏 ⃗|=√ 2∙13 2 +2∙19 2 −24 2 =√484=22.

Приклад 2. Обчислити довжину вект

Обчислити довжину вектора 푎 = (6;3; −2) і його напрямні косинуси.

Вектор 푎 утворює з координатними осями 푂푥,푂푦 кути 훼=60 0 ,훽=120 0. Обчислити його координати, якщо |푎|=2.

Знайти координати точки та її радіус-вектор утворює з координатними осями однакові кути, а модуль радіуса-вектора дорівнює 3.

Знайти координати точки та її радіус-вектор утворює з координатними осями однакові кути, а модуль радіуса-вектора дорівнює 3.

Знайти точку та з якою збігається кінець вектора a = {3;-1;4}, якщо його початок є точка (1;2; −3).

If its beginning is the point 푀 (1;2; −3). Solution. Let the point 푁 have coordinates 푥,푦,푧. Then 푎 =푀푁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = { 푥 푁 −1; 푦 푁 −2; 푧 푁 +3 } , and according to the condition 푎 = { 3;−1;4 }

Що називається вектором і довжиною вектора?

Які вектори називаються колінеарними, комплaнарними, рівними між собою?

Які дії над векторами називають лінійними? Сформулюйте їх властивості.

Що називається базисом на площині, у просторі?

Як знайти координати вектора, якщо відомі координати його початкової та кінцевої точок?

Дайте означення напрямних косинусів вектора. Сформулюйте їх властивості.

Як знайти координати вектора, якщо відомі координати його початкової та кінцевої точок?

Дайте означення напрямних косинусів вектора. Сформулюйте їх властивості.

Чому дорівнює проекція вектора на вісь?

Що називають ортом вектора і як він знаходиться?

Як розкласти вектор по координатному базису?

Як виконати додавання, віднімання та множення вектора на число, якщо відомі координати векторів?

Як знайти модуль вектора, заданого координатами?