Free Printable LA2 konzultace, kvíz #1

1.

Označte obecně pravdivá tvrzení.

a)

Pro každý VP konečné dimenze existuje nějaká jeho báze.

b)

Pro každý VP konečné nenulové dimenze existuje nějaká jeho báze.

c)

Pro každý VP existuje nějaká jeho báze.

d)

Pro každý VP nenulové dimenze existuje nějaká jeho báze.

2.

Co platí pro následující VP?

$\left(V,\ \mathbb{Z}_8,+,\ \cdot\right)$

a)

Je nutně konečné dimenze.

b)

Žádný takový VP neexistuje.

c)

Vektory tohoto VP mohou být i matice.

d)

Souřadnice libovolného vektoru z V vzhledem k libovolné bázi V jsou d-tice čísel ze $\mathbb{Z}_8.$

3.

Nechť $A\in\mathbb{R}^{n,n},\ n\in\N$ je symetrická matice. Potom je tato matice diagonalizovatelná.

a)

Platí

b)

Neplatí

4.

Označte obecně platná tvrzení.

a)

Ke každému vektoru z nějakého VP V existuje alespoň jeden opačný vektor.

b)

Množina všech polynomů stupně nejvýše dva spolu s nulovým polynomem tvoří VP.

c)

Ke každému vektoru z nějakého VP V existuje právě jeden opačný vektor.

d)

Množina všech polynomů stupně nula tvoří VP.

5.

Buď $\left(V,\ T,\ +,\ \cdot\right)$ VP. Potom lineární obal podprostoru neobsahuje nic navíc oproti původnímu podprostoru, tj.

$\left(\forall P\subset\subset V\right)\left(\langle P\rangle=P\right)$

a)

Platí

b)

Neplatí

6.

Uvažujme vektorový prostor $\left(V,\ T,\ +,\ \cdot\right).$ Označte obecně pravdivá tvrzení.

a)

$\left(\forall P,Q\subset\subset V\right)$
$\left(P\subset\subset Q\wedge P\ne Q\right)$

$\Longrightarrow$ $\left(\dim\left(P\right)<\dim\left(Q\right)\right)$

b)

Existují alespoň dva různé podprostory V, tj.

$\left(\exists P,Q\subset\subset V\right)$

$\left(P\ne Q\right)$

c)

$\left(\forall P,Q\subseteq V\right)$
$\left(Q\subset\subset V\ \wedge\ P\subset\subset Q\right)$

$\Longrightarrow\left(P\subset\subset V\right)$

d)

$\dim\left(V\right)=\infty,$ právě když ve V existuje LN soubor vektorů nekonečné délky

7.

Buď $\left(V,\ T,\ +,\ \cdot\right)$ VP, $M\subseteq V,\ M\ne\left\{\right\}.$

Pokud je množina M LZ, pak každý soubor vektorů z M je LZ.

a)

Platí

b)

Neplatí

8.

Uvažujme VP $\left(V,\ T,\ +,\ \cdot\right).$ Dále nechť $x_{1,}\ x_2,\ x_3\in V.$ Potom:

a)

$\left\langle\ x_1,\ x_2\right\rangle\subset\subset V$

b)

$\left(\left\langle\ x_1,\ x_2,\ x_3\right\rangle=V\right)$ $\Longrightarrow\ \left(\dim\left(V\right)=3\right)$

c)

Pokud je soubor $\left(x_1,\ x_2,\ x_3\right)$ LZ, potom $\dim\left(V\right)\ \le3.$

d)

Pokud je soubor $\left(x_1,\ x_2,\ x_3\right)$ LN, potom $\dim\left(V\right)\ \ge3.$

9.

Uspořádaná trojice $\left(\N,+,\ 0\right),$ kde $0\in\N$ , tvoří grupu $\left(\N,+\right)$ s neutrálním prvek 0.

a)

Platí

b)

Neplatí

10.

Buď $B\in T^{n,n},\ n\in\N$ singulární matice. Potom platí:

a)

$\det\left(B\right)=0$

b)

$h\left(B\right)<n$

c)

$\left(\exists A\in T^{n,n}\right)$ $\left(AB=BA=E\right)$

d)

$0\in\sigma\left(B\right)$

11.

Buď $\left(V,\ T,\ +,\ \cdot\right)$ VP. Potom i libovolný podprostor P tohoto vektorového prostoru je vektorový prostor.

a)

Platí

b)

Neplatí

12.

Buďte $\chi=\left(x_1,\ x_2,\ x_3\right),\ \Upsilon=\left(x_2,\ x_1,\ x_3\right)$ dvě báze VP $\R^3$ .

Dále mějme vektory $\upsilon,\ \rho\in\mathbb{R}^3.$ Označte obecně pravdivá tvrzení.

a)

$\left(\upsilon\right)_{\chi}=\left(\upsilon\right)_{\Upsilon}$

b)

$\left(\left(\upsilon\right)_{\chi}=\left(\rho\right)_{\chi}\right)$

$\Longrightarrow\left(\upsilon=\rho\right)$

c)

$\langle\left(\upsilon,\ \rho\right)\ \rangle\ =\left\langle\left(\rho,\ \upsilon\right)\right\rangle\ \$

d)

$\dim\left(\langle\ \chi\ \rangle\right)=3$

13.

Mějme VP $\R^3$ a dva vektory $x,\ y\ \in\R^3.$ Potom:

a)

$x+y^T\in\mathbb{R}^3$

b)

$x\ \cdot\ y\ \in\R^{3,3}$

c)

$x^T\cdot y\in\mathbb{R}^{3,\ 3}$

d)

$3x-42y\in\R^3$

LA2 konzultace, kvíz #1

Total questions: 13

Worksheet time: 14mins

Similar Resources on Wayground