Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε αυτό, τότε     f ΄(x) > 0 για κάθε x $$\in$$ Δ.         

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x₀ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και  f΄(x₀)=0, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x₀.        

Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x₀, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. 

Αν  f ΄ (x) > 0  στο (α, x₀) και f ΄ (x) < 0 στο (x₀, β), τότε το f (x₀) είναι τοπικό ελάχιστο της f .                    

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x₀,τότε η συνάρτηση f⋅g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει:(f⋅g)΄(x₀) = f΄(x₀) g΄(x₀)       

Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.      

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.

Έστω η συνάρτηση f(x) = $$\sqrt[]{χ}$$ . H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+∞) και ισχύει     f'(x)= $$\frac{1}{2\sqrt[]{x}}$$            

Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφαπτομένης στο σημείο Α(x₀, f(x₀)), της γραφικής παράστασης C_f μιας συνάρτησης f, παραγωγίσιμης στο σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της είναι λ = f΄(x₀).       

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι  θετική για κάθε x ∈ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.