Free Printable Функциональные последовательности и ряды

1.

Допустим, что частичные суммы $\left|\sum_{\text{n=1}}^N\ f_n\left(x\right)\right|\ \le\ K$ ограниченны для всех $x$ и $N$ .

При каких дополнительных условиях ряд $\sum_{n=1}^{\infty\ }\ f_n\left(x\right)\ g_n\left(x\right)$ сходится равномерно?

a)

Каждая функция $g_n\left(x\right)$ монотонна по $x$

b)

Последовательность $g_n\left(x\right)$ монотонна при каждом $x$

c)

Последовательность $g_{n\ }\left(x\right)$ равномерно сходится к $0$

d)

Существует $L$ такое, что $\left|\ g_n\left(x\right)\right|\ \le\ L$ для всех $x$

2.

Допустим, что $\left|g_n\left(x\right)\right|\ \le\ L$ для всех $x$ .

Что еще нужно потребовать для равномерной сходимости ряда $\sum_{\ n=1}^{\infty\ }f_n\left(x\right)g_n\left(x\right)$

a)

Последовательность
$g_n\left(x\right)$ монотонна при каждом $x$

b)

Ряд $\sum_{\ n=1}^{\infty\ }f_n\left(x\right)\$ сходится равномерно

c)

Частичные суммы $\left|\sum_{\ n=1}^Nf_n\left(x\right)\right|\ \le\ K$

равномерно ограниченны

d)

Функции $f_n\left(x\right)$ монотонны по $x$ при каждом $n$

3.

Ряд
$1+\ x+\ \frac{\ x^2}{2!}+\ \dots\ +\ \frac{x^n}{n!}+\dots\$
является разложением функции

a)

$e^x$

b)

$\ln\left(1+x\right)$

c)

$\sin\left(x\right)$

d)

$\cos\left(x\right)$

4.

Ряд

$x\ -\frac{x^3}{3!}+\dots\ +\frac{\left(-1\right)^nx^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}+\ \dots\$

есть разложение функции

a)

$\sin x$

b)

$\cos x$

c)

$e^x$

d)

$\ln\left(1+x\right)$

5.

Ряд

$1\ -\ \frac{x^2}{2!}+\dots\ +\left(-1\right)^n\ \frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}+\dots\$

является разложением функции

a)

$\sin x$

b)

$\cos x$

c)

$e^x$

d)

$\ln\left(1+x\right)$

6.

Ряд

$x\ -\ \frac{x^2}{2}+\dots\ +\left(-1\right)^{n-1}\ \frac{x^n}{n}+\dots\$

есть разложение функции

a)

$e^x$

b)

$\ln\left(1+x\right)$

c)

$\cos x$

d)

$\sin x$

7.

Ряд

$1+\alpha\ x\ +\ \frac{\alpha\left(\alpha\ -1\right)}{2!}x^2+\dots\ +\frac{\alpha\left(\alpha\ -1\right)\dots\left(\alpha\ -n+1\right)}{n!}x^n+\dots\$

является разложением функции

a)

$\left(1+x\right)^{\alpha\ }$

b)

$\cos x$

c)

$e^x$

d)

$\arctan x$

8.

Пусть монотонная последовательность непрерывных функций $f_n\left(x\right)$ на $\left[a,b\right]$
поточечно сходится к непрерывной функции $f$ .

Будет ли сходимость равномерной?

a)

Да

b)

Нет

c)

Не знаю

9.

Пусть $\left|f_n\left(x\right)\right|\ \le\ c_n$ и ряд $\sum_{\ n=1}^{\infty\ }c_n$ сходится.

Верно ли, что ряд $\sum_{\ n=1}^{\infty\ }\left|f_n\left(x\right)\right|$ сходится равномерно?

a)

Да

b)

Нет

c)

Не знаю

10.

Что из следующих примеров есть степенной ряд?

a)

$1+x^3$

b)

$\sum_{\ n=1}^{\infty\ }\frac{x^n}{n!}$

c)

$\sum_{\ n=1}^{\infty}\frac{\left(n+x\right)^n}{n^{n+x}}$

d)

$\sum_{\ n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2+n^2}$

11.

Пусть $\sum_{\ n=1}^{\infty}a_nx^n$ есть степенной ряд и его радиус сходимости $R$ . Выберите верные утверждения.

a)

Ряд сходится абсолютно в интервале $\left(-R,\ R\right)$ .

b)

Ряд можно дифференцировать сколько угодно раз в точках интервала $\left(-R,\ R\right)$ .

c)

В точках $x=-R,\ \ x=R$ сходимость условная.

d)

Ряд производных $\sum_{\ n=1}^{\infty}na_nx^n$

сходится в интервале $\left(-R,\ R\right)$

12.

Пусть ряд $\sum_{\ n=1}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=10$ .
Выберите верные утверждения.

a)

Ряд сходится абсолютно в точке $x=5$

b)

Сходимость в точке $x=5$ надо исследовать дополнительно

c)

Ряд сходится абсолютно в точке $x=-5$

d)

Сходимость в точке $x=-5$ надо исследовать дополнительно

e)

Радиус сходимости $R$ не меньше 10

Функциональные последовательности и ряды

Total questions: 12

Worksheet time: 15mins

Similar Resources on Wayground