Для того, щоб рівняння Пфаффа
 $P\left(x,y,z\right)dx+Q\left(x,y,z\right)dy+R\left(x,y,z\right)dz=0$ 
інтегрувалося одним співвідношенням, необхідною та достатньою умовою є те, що   векторне поле
 $\overrightarrow{F}\left(P,Q,R\right)$  має задовільняти рівності:

 $2u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}+2u_x+2u_y-u=0$ 
Визначити тип рівняння.

 $u_t=a^2u_{xx}$ 
Визначити тип рівняння.

 $2u_{xx}-3u_{xy}+u_{yy}+7u_x+4u_y-2u=0$  

Звести рівняння  до канонічного вигляду

 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=25\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$  

Знайти розв'язок задачі Коші для рівняння, якщо початкові умови такі:

 $u\left(x,0\right)=0$   $\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right)=\cos3x$  
 

Для рівняння коливань струни довжиною   $l=1м$ , закріпленої на кінцях

 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$  

Задані такі початкові умови:

 $u\left(x,0\right)=x-x^2;$   $\frac{\partial u}{\partial y}\left(x,0\right)=0;$ 

Знайти коефіцієнти  $a_k$  та  $b_k$  для розкладання розв'язку у ряд Фур'є:
 $u\left(x,t\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos\ \frac{ak\pi}{l}t+\ b_k\sin\ \frac{ak\pi}{l}t\right)\sin\ \frac{k\pi}{l}x$  

Для рівняння коливань струни довжиною   $l=\piм$ , закріпленої на кінцях

 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$  

Задані такі початкові умови:

 $u\left(x,0\right)=\sin x;$   $\frac{\partial u}{\partial y}\left(x,0\right)=0;$ 

Знайти розв'язок методом Фур'є:
 $u\left(x,t\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos\ \frac{ak\pi}{l}t+\ b_k\sin\ \frac{ak\pi}{l}t\right)\sin\ \frac{k\pi}{l}x$  

Функція

 $u\left(x,t\right)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\ \frac{1}{\sqrt{a^2t}}e^{-\frac{\left(x-\xi\right)^2}{4a^2t}}\varphi\left(\xi\right)d\xi$ 

для початкової умови  $u\left(x,0\right)=\varphi\left(x\right)$  дає розв'язок задачі Коші для:

 $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\right)+V\psi$ 
Це: