Как теория вероятностей связана с математической статистикой?

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр.

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли.

Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева и его учеников.

Совокупность (событий, опытов) – некое множество подобных между собой единиц.

Определение: Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате опыта (если будет осуществлена определенная совокупность условий).

Определение Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате опыта.

Определение. Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Случайные события бывают: совместные, несовместные, равновозможные, равносильные.

Опр. Случайные события А и В наз. совместными, если наступление одного не исключает появление другого.

Опр. Случайные события А и В наз. несовместными, если наступл

Опр. Случайные события А и В наз. совместными, если наступление одного не исключает появление другого.

Опр. Случайные события А и В наз. несовместными, если наступление одного исключает появление другого.

Опр. Случайные события А и В наз. равновозможными, если в результате опыта каждое событие имеет равный шанс наступить.

Опр. Произведение случайных событий (А · В) – это событие, состоящее в наступлении А и В вместе.

Для несовместных событий произведение А · В – невозможно.

Примеры несовместных событий. Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — несовместные.

Пример 2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.

Примеры равновозможных событий. Пример 1. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты — равновозможные события.

Пример 2. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости —

Определение вероятности появления события. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Обозначают через Р(А).

Классическое определение вероятности. Вероятность события А определяется формулой Р(А) = m/n, где m — число элементарных исходов, благоприятствующих A; n — число всех возможных элементарных исходов испытания. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, Р(A) = m/n = n/n = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, Р(A) = m/n = 0/n = 0.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

По определению, вероятность Р (А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А.

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Q), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А.

Что такое пространство Q и каковы его элементы?

Каково классическое определение вероятности?

Что такое геометрическая вероятность?

Каковы аксиомы, определяющие вероятность?

Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А.

Вероятность достоверного события равна единице: P(Q) = 1.

Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Факториалом целого положительного числа n называется произведение чисел n! = 1·2·3·4·…·(n-1)·n.

Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два?

Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Указать ошибку «решения» задачи:

Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)».

Правильное решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно 6-6 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1; 3), (3; 1), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность Р (А) = 3/36 =1/12.

Относительная частота события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой W(A) = m/n, где m — число появлений события; п — общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.

Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей W(A) = 3/80.

По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели W(A) = 19/24.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Поданным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.