Worksheetstoán
Total questions: 68
Worksheet time: 42mins
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây
AD’=BC’
BC=A’D’
AB=CD
AB=D’C’
Trong không gian, cho ba điểm A,B,C tuỳ ý. Mệnh đề nào đúng
AB-BC=AC
AB-AC=CB
AB+CB=AC
AB+AC=BC
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, tổng của DA+DC+DD’ là vecto nào
DB’
DB
BD
BD’
Cho a và b là hai vecto cùng hướng và đều khác vecto 0. Mệnh đề nào đúng
a.b=|a|.|b|
a.b=0
a.b=-1
a.b=-|a|.|b|
Cho tứ diện ABCD. Hỏi có bao nhiêu vecto khác vecto 0 mà mỗi vecto có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD
12
4
10
8
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Đặt AB=a, BC=b. M là điểm xác định bởi OM=1/2(a-b). Khẳng định nào đúng
M là tâm h h ABB’A’
M là trung điểm BB’
M là tâm hbh BCC’B’
M là trung điểm CC’
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hbh. Đặt SA=a, SB=b, SC=c, SD=d. Khẳng định nào đúng
a+c=d+b
a+d=b+c
a+b=c+d
a+b+c+d=0
Cho hai vecto a,b,c đồng phẳng. Xét các vecto x=2a-b, y=-4a+2b, z=-3b-2c. Chọn khẳng định đúng
Vecto y,z cùng phương
x,z cùng phương
x,y cùng phương
x,y,z đồng phẳng
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3,5,-1), B(7,x,1), C(9,2,y). Để A,B,C thẳng hangd thì giá trị x+y là
5
6
4
7
Trong không gian Oxyz, tìm toạ độ điểm A biết điểm A nằm trên tia Oy và OA=3
A(0,3,0)
A(1,-3,0)
A(3,0,0)
A(0,0,3)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho vecto a(1,2,-2), b(3,1,-1), c(x,y,1). Biết a vuông góc c, b.c=2. Tính T=x.y
6/25
12/5
12/25
-8/25
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’(1,0,1), B’(2,1,2), D’(1,-1,1), C(4,5,-5). Tìm toạ độ đỉnh B của hình hộp ABCD.A’B’C’D’
(4,6,-5)
(4,6,5)
(2,0,2)
(-4,-6,5)
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto u=(1,0,1), v=(0,1,-2). Tích vô hướng của u và v là
u.v=-2
u.v=2
u.v=(0,0,-2)
u.v=0
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1,2,3). Tìm toạ độ A’ là điểm đối xứng với A qua trục Oy
A’(1,-2,3)
A’(1,2,-3)
A’(-1,2,3)
A’(-1,2,-3)
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a=(2,1,-1), b=(1,3,m). Tìm giá trị của tham số m để (a,b)=90 độ
-5
5
1
-2
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a=(3,2,1), b=(-2,0,1). Tính cos (a,b)
Căn 70/14
-căn 70/14
-5/căn14+căn5
-5/căn 14
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2,-4,6). Biết A thuộc trục Ox và B thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó toạ độ của trung điểm của đoạn thẳng BM là
(3,-2,3)
(3,-6,3)
(3,-2,9)
(1,-6,9)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-1,3,4), B(9,-7,2). Tìm trên trục Ox toạ độ điểm M sao cho MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất
(5,0,0)
(-2,0,0)
(4,0,0)
(9,0,0)
Cho tứ diện ABCD. Đặt AB=a, AC=b, AD=c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng
AG=a+b+c
AG=1/3(a+b+c)
AG=1/2(a+b+c)
AG=1/4(a+b+c)
Hàm số nào dưới đây không có cực trị
x^2+1/x
2x-2/x+1
x^2-2x+1
-x^3+x+1
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng hình cong như hình vẽ
x^3-2024
x3-3x2+2024
-x3+3x
-x3+3x2-2
Đồ thị trong hình sau là đồ thị của hàm số nào
x+2/x+1
2x+3/x+1
x-1/x+1
x+3/3-x
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng hình cong như hình vẽ
x+2/x+1
x2-2x+2/x+1
x2-2x+2
x2+2x+2/x+1
Hàm số nào có bảng biến thiên như hình vẽ
2x+1/x-2
2x-5/x-2
2x+1/x+2
2x-1/x+2
Hàm số nào nghịch biến trên R
x3-3x+2
-x3+2x2-4x+1
x4+2x2+2
-x3-2x2+5x-2
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên, tổng số tcn và tcđ của đồ thị đã cho
4
3
2
1
Cho hàm số y=f(x) xác định R\{-1,2}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau, khẳng định nào là sai
y=1 là tcn của đths
y=5 là tcn của đths
x=-1 là tcđ của đths
x=2 là tcđ của đths
Cho hàm số y=1/3x3-2x2-1. Mệnh đề nào sau đây đúng
Hàm số đồng biến trên khoảng (0,4)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-35/3;-1)
Hàm số đạt cực đại tại x=-1
Hàm số có cực tiểu là -35/3
Cho hàm số y=-x2+3x-1/x-2. Toạ độ giao điểm của các đường tc của hàm số là
(-2;3)
(2,1)
(2,-1)
(3,2)
Cho hàm số có đồ thị là đường cong, hỏi bao nhiêu số dương trong các số a,b,c,d
4
2
1
3
Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t)= t2-1/6t3 (m). Tìm thời điểm t(giây) mà tạo đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất
2
0,5
2,5
1
Hồ nuôi tôm giống của một anh nông dân chứa 30 khối nước, cứ mỗi giờ máy bơm nước sẽ bơm thêm vào hồ 4 khối nước, đồng thời anh ta cũng thêm vào 3kg bột xử lý nước. Nồng đôn (kg/khóii) của bột xử lí nước trong hồ không bao giờ vượt qua
12 (kg/khối)
1,33 (kg/khối)
0,75 (kg/khối)
0,275 (kg/khối)
Dân số VN sau t năm tính từ năm 2024 được dự đoán theo công thức với N(t) tính theo đơn vị triệu người: N(t)=100.e^0,012t , 0<t<50. Biết rằng đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ gia tăng dân số của VN (đơn vị triệu người/năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số hơn 2 triệu người/năm
2064
2065
2066
2067
Một công ty sản xuất sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là p(x)=1000-25x trong đó p(x) (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá này bán có x sản phẩm được bán ra. Khi đos hàm doanh thu của công ty là
F(x)= 1000x-25x2
F(x)= 1000x+25x2
F(x)= 25x2-1000x
F(x)= 1000-25x2
Một hộ làm nghề dệt vài lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa 1<x<18. Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí C(x)=x3-6x2+20x+500
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm một ngày với giá 320nghìn đồng/mét. Gọi L(x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa. Hãy viết biểu thức tính L(x) theo x
320x
-x3+6x2+300x-500
x3-6x2-300x+500
x3-6x2+340x+500
Cho hàm số y=x3-3x+1. Chọn đáp án đúng
Điểm cực tiểu của hàm số là x=1
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1)
Giả sử hàm số đã cho có hai điểm cực trị là x1,x2. Khi đó giá trị x1.x2=-1
Gọi A,B lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi đó, diện tích tam giác ABC là 12 với C(-1,2)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y=f’(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong. Chọn đáp án đúng
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (-∞,-2)
Hàm số y=f(x) có hai điểm cực trị
f’(2)=16
Hàm số g(x)=f(x)-1/2x2+x+2024 đồng biến trên khoảng (2;2024)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Hàm số y=f’(x) có đths. Chọn những câu đúng
Hàm số y=f(x) có 2 cực trị
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (1;+∞)
f(1)>f(2)>f(4)
Trên đoạn [-1,4] thì giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) là f(4)
Cho hàm số có đồ thị như hình. Chọn đáp án đúng
Đths có tcđ là x=1
Đths có tcx là y=x
Đths trên là của hàm số y=x2-x+1/x-1
Đths đi qua ba điểm có toạ độ là số nguyên
Cho đồ thị của hàm số. Chọn đáp án đúng
Hàm số có đồ thị đã cho là hàm số y=x/x+1
Đths có tcn là x=1
Đths có tâm đối xứng là điểm I(-1;1)
f(2025)= 1012/1013
Cho hàm số y=f(x)= -x2+2x-1/x+2 (C). Chọn đáp án đúng
Hàm số đồng biến trên khoảng (-5;1)
Đths có điểm cực tiểu là (-5;12)
Đths có 1 đường tcx có dạng y=ax+b trong đó a>b
Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị (C). Tích khoảng cách từ điểm M đến hai tiệm cận của đồ thị (C) bằng 9căn 2/2
Cho hàm số y=f(x)= x2-x+2/x-2 có đồ thị (C). Chọn đáp án đúng
Đồ thị (C) có tcđ là đường thẳng x=2
Đường thẳng y=x+1 là tcx của đồ thị (C)
Đồ thị (C) đi qua điểm M(0,2)
Đường thẳng y=m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi -1<m<7
Cho hàm số y=3x+2/x+2 có đồ thị là (C). Chọn đáp án đúng
Đường thẳng y=3 là tcđ của đths (C)
Điểm I(-2,3) là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị (C)
Đồ thị (C) cắt đường thẳng y=x+2) tại hai điểm phân biệt
Đường thẳng y=x cắt (C) tại hai điểm A,B. Biết đường thẳng y=x+k cắt (C) tại C,D thì ABCD là hbh khi đó k>5
Cho hàm số y=-x2-3x+4/x-3 có đồ thị là (C). Chọn đáp án đúng
Đồ thị (C) có tcx là y=-x-6
Đồ thị (C) nhận giao điểm I(3,-9) làm tâm đối xứng
Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với Oy
Đồ thị không cắt trục Ox
Cho hàm số y= f(x) xác định trên R có bảng biến thiên. Chọn đáp án đúng
Hàm số có 3 điểm cực tiểu
Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm thực phân biệt
f(6)>f(5)
Khi m=15, giá trị lớn nhất của hàn số h(x)=f(x)+m trên đoạn [0,5] bằng 34
Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất x(m3) nước tinh khiết thì phải chi các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; 0,0005 chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là 200m3. Gọi C(x) là chi phí sản xuất x (m3) sản phẩm mỗi ngày và /C(x) là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm. Chọn đáp án đúng
C(x)=0,0005x2+0,15x+5
Chi phí sản xuất 100m3 nước tinh khiết là 23 triệu đồng
/C(x)=0,0005x+0,15+5/x
Chi phí trung bình tăng lên khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày đạt từ 90m3 đến 200m3
Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí C cách bờ biển một khoảng CB = 5 km như hình bên dưới. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí A cách B là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ C đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến A với vận tốc là 6 km/h. Chọn đáp án đúng
Đặt BM = x, (0≤x≤7) thì quãng đường từ vị trí C đến M là (25+x²) km.
Đặt BM = x, (0 ≤ x ≤7) thì thời gian người canh hải đăng đi từ vị trì C đến M là căn 25+x2/6 giờ
Đặt BM = x, (0 ≤ x ≤ 7) thì quãng đường từ vị trí M đến kho A là (7-x)km
Để người đó đến kho nhanh nhất thì M đặt cách kho A là 2√5 km.
Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm 1 (giây) là y = t³-12t+3,1≥0. Chọn đáp án đưng
- Hàm gia tốc của vật là a = y'.
Hàm vận tốc của vật là v(t) = 31² - 12.
Tại thời điểm t = 1 thì hạt đang chuyển động lên trên.
Trong khoảng thời gian 0≤1≤3 thì quãng đường mà hạt đi là 23m.
Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000.
Hàm cầu p = -10x+60 ( x là nghìn khăn mặt bán được, P là giá của một chiếc khăn mặt, đơn vị tính nghìn đồng).
Doanh thu khi bán được 10 nghìn chiếc khăn là: 1 triệu đồng.
Mỗi tháng cơ sở bán nhiều hơn 4200 chiếc khăn thì cơ sở lỗ vốn.
Lợi nhuận lớn nhất khi mỗi tháng cơ sở bán được 2100 chiếc khăn
Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi P = 400 – 2Q và hàm chỉ phí trung bình C=0,2Q+4+400/Q trong đó Q là số đơn vị sản phẩm (P và C được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm). Chọn đáp án đúng
Q = 90 là lượng sản phẩm bán ra để lợi nhuận thu được tối đa;
Giá bán để lợi nhuận thu được tối đa là 250$
Lợi nhuận tối đa là 17420$
Nếu chính phủ đánh thuế 22$ / một đơn vị sản phẩm thì giá bán 290$ để lợi nhuận thu được tối đa
Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: P(x)=45-0,001x2 (triệu đồng). Cho phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là C(x)=100+30x triệu đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Chọn đáp án đúng
Chi phí để A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.
Số tiền A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho B là 600 triệu đồng.
Lợi nhuận mà A thu được khi bán x tấn sản phẩm (0 ≤x≤100) cho B được biểu diễn bởi công thức
H(x) = -0,001x3 +15x-100.
Bên A bán cho B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.
Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, CD = 2b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và IJ = 2c, M là một điểm bất kỳ và G là trọng tâm của tứ diện. Khẳng định nào sau đây đúng?
AB+CD=AD+CB.
AB+AC+AD=3AG.
MA² + MB² = 2 MI²
Giá trị nhỏ nhất của P = MA² + MB² + MC² + MD² bằng 2(a² + b² + 2c²).
Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' đáy là tam giác đều cạnh 2a, AA' = a√3. H, K lần lượt là trung điểm của BC,B'C'. Chọn đáp án đúng
Hai vecto AH, KA' là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
Góc giữa hai vectơ A'H và AH bằng 60°.
Độ dài của vectơ AK + AH là a√15.
Tích vô hướng AK.AB' = 6a².
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = a; AD = a√3; AA' = 2a. Chọn đáp án đúng
AB' + CD' = 0.
A'B' cùng phương với CD .
cos(BB'; CD') = 2/√5
AB + A'D' + CC' = 2a√2.
Cho hình chóp đều S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn đáp án đúng
AB+CD=0.
OA+OC=0.
SA+SB+SC+SD=2SO.
(SA-SC).(SB+SD) = 0.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 1, AD = 2, AA' = 3. Gọi M là một điểm trên đoạn CC' sao cho CM = 2MC'. Chọn đáp án đúng
AA'=3/2CM.
cos(AM, A'C') = 2/3
AM = AB+ AD + 2/3AA'.
AM.B'D = 0.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a. Chọn đáp án đúng
Tứ giác ABCD là hình vuông.
Tam giác SBD cân tại S.
(SB,BD) = 45°.
SB.BD = a².
Cho tứ diện đều SABC có cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, BC. Chọn đáp án đúng
Độ dài của vectơ SA bằng a.
SA.SB = a²√3/2
SB + AB + SC + AC = 4MN
Gọi I là trọng tâm của tứ diện. Khoảng cách từ 1 đến (ABC) bằng 3a√6/4
Cho tứ diện ABCD có cạnh a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chọn đáp án đúng
Vectơ AB và CD cùng hướng.
EA+EB+EC+ED=0 với E là trung điểm MN .
AB.CD+AC.DB+AD.BC=0.
Điểm I xác định bởi P = 3IA² + IB² +IC² + ID² có giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của P là 2a²
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD =a và BAC = BAD = 60°, CAD = 90° . Gọi I là điểm trên cạnh AB sao cho Al = 3IB và J là trung điểm của CD. Gọi a là góc giữa hai vectơ AB và IJ. Chọn đáp án đúng
Tam giác BCD vuông cân
IJ=1/2AC+1/2AD+3/2AB
AB.AC+AC.AD+AD.AB = a²/2
cosa = -√5/5
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A₁B₁C₁ có cạnh đáy bằng x và chiều cao bằng y. Khi đó ta có. Chọn đáp án đúng
AB.AC = 1/2 x²
AC₁ = AC + AA₁
CB₁ = AB-CA+AA₁
Góc (AC₁, CB₁) > 60° khi y/x<√2.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(3;2;-1), B(1;4;-2) và C(0;-2;3). Chọn đáp án đúng
AB=(-2;2;-1)
| AB |=3
Toạ độ điểm M sao cho AB + CM = 0 là (1;-2;2)
Toạ độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng là (5; 0;1)
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(1;1;1), B(-1;2;1), C(1;2;-1). Chọn đáp án đúng
Tọa độ trung điểm của AB là (-1;1/2;0)
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là (1/3;5/3;1/3)
cos BAC= 1/2
Điểm D (3;-1;3) thỏa mãn A là trọng tâm của tam giác BCD.
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1) và M là điểm sao cho 3MA²+2MB²-MC² đạt giá trị nhỏ nhất.
AB=(-1;1;1)
cos BAC = 2√15/15
Tọa độ điểm D là (2;-1;0).
Tọa độ điểm M là (3/4;-1/2;1)
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2√2, cạnh bên SA = 4 (hình 14). Khi đó: Chọn đáp án đúng
Toạ độ của điểm A là ( 0; 2; 0).
Trọng tâm của tam giác SAB là G (2/3;-2/3; 2√3/3)
Nếu E(a; 0; b) là điểm trên mặt phẳng (Oxz) sao cho ba điểm C, E, G thẳng hàng thì a.b = √3
Nếu M(0; m; n) là điểm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho MG + MB đạt giá trị nhỏ nhất thì m² + n² = 1
Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 100 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 700 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 2) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 12 km, cách 350 km về phía đông và 300 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Chọn đáp án đúng
Ra đa ở vị trí có toạ độ (0;0;0,1).
Vị trí A có toạ độ (350;300;12).
Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 461,13 km (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu không phát hiện được máy bay tại vị trí A.
Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9h30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
Máy bay đang ở độ cao 9 km.
Tọa độ của máy bay (300;150;9).
Phi công để máy bay ở chế độ tự động với vận tốc theo hướng đông là 750km / h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng đông với vận tốc 10m / s. Giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì lúc 10h30phút máy bay ở tọa độ (150;1086;9).
Sau khi bay đến vị trí lúc 10h30 thì máy bay bay ngược lại với vận tốc 800km / h với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc 11h máy bay ở tọa độ (686;150;9).
Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ Oxyz được gắn như hình vẽ, trong đó gốc O là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và M (x;y;z) (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm 8h máy bay đang ở vị trí (50;120;4) và chuyển động với vận tốc v = (300;400;3) (km/h)
Tại thời điểm 8h, khoảng cách giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu nói trên xấp xỉ 130 km (sai số không quá 1km).
Tại thời điểm 9h độ cao của máy bay so với mặt đất là 8km.
Tại thời điểm 10h, khoảng cách giữa máy bay và một tháp truyền hình F có tọa độ (1250;1020;0) xấp xỉ 700km (sai số không quá 10km).
Khi đạt độ cao 10km, máy bay đổi vận tốc mới là v₂ = (400;300;-5) để hướng đến sân bay B. Tọa độ của máy bay khi vừa đáp xuống sân bay B là (1450;1520;0).
