Molti preferiscono D: Ma ciÚ implica che: 0. 10푢(5) > 0.11푢(1) Tale risultato Ë in chiara contraddizione con il precedente risultato Il paradosso di Allais viola l’assioma di indipendenza della teoria dell’Utilità attesa.

Siccome 0.89 (1 milione) Ë elemento comune a A e B, non dovrebbe incidere sulla scelta tra A e B: Scegliendo A si preferisce la lotteria (1) (che si ottiene con p=0.11) alla lotteria E:(0.10/0.11)(5)+(0.01/0.11)(0)

Strutturata in questo modo, questa scelta corrisponde a quella tra 1 e E, a cui si unisce una lotteria 0.89*0, che secondo l’assioma di indipendenza non dovrebbe mutare la preferenza di (1) vs. (0.10/0.11)(5)+(0.01/0.11)(0). Tuttavia, la maggior parte dei soggetti preferisce D a C, violando l’assioma di indipendenza.

Nell’interpretazione di Kahneman e Tversky il paradosso di Allais dimostra un “Effetto Certezza”: si dà eccessivo peso a eventi certi e si scontano molto gli eventi con probabilit‡ leggermente minore di uno.

Nella scelta tra: A=(4000, p=0.8) oppure B=(3000) L’80% sceglie B, che implica: 푢( 3000) > 0.8 ∗ 푢(4000)

Nella scelta tra: C=(4000, p=0.2) oppure D=(3000; p=0.25) Solo il 35% sceglie D. Per la maggioranza che sceglie C si ha: 0.2푢(4000) > 0.25푢( 3000) → 푢( 3000) < 0.8푢(4000) che Ë in contraddizione con il primo risultato.

I prospetti C e D si ottengono dividendo per 4 le probabilit‡ di A e B rispettivamente, oppure, offrendo una meta-lotteria che fa vincere 0 con 0.75 e fa vincere i prospetti (A) (B) con p=0.25. 0.25*U(3000)>0.2*u(4000) Quindi si dovrebbe propendere per D invece che C L’assioma di indipendenza della teoria dell’Utilità Attesa risulta violato

Gli individui in generale mostrano di essere avversi al rischio nel dominio dei guadagni. Ma nella scelta tra A) 5000 euro con probabilit‡ 1 su mille B) 5 euro con certezza Gli individui tendono a preferire A, che Ë chiaramente pi ̆ rischiosa (a parit‡ di valore atteso, 5€ sia per A che per B)

Nel dominio delle perdite, tendenzialmente gli individui sono propensi al rischio. Tuttavia, posti di fronte alle scelte: C=(-5000, p=0.001) vs D=(-5, p=1), l’83% sceglie D (assicurazione) (risk-averse sulle perdite)

Queste due anomalie possono essere spiegate da una “funzione di ponderazione delle probabilità” che attribuisce un peso maggiore alle probabilità vicino allo zero.

Tversky e Kahneman (1986): i partecipanti devono scegliere contemporaneamente (A o B) e (C o D): Scelta tra A=(+240) e B=(1000, p=0.25; 0, p=0.75) Scelta tra C=(-750) e D=(-1000, p=0.75; 0, p=0.25)

La grande maggioranza quindi sceglie AD che equivale a (240, p=0.25; -760, p=0.75). Ma AD Ë dominata da BC che corrisponde a (250, p=0.25; -750, p=0.75). I soggetti mostrano la loro incapacità ad integrare i prospetti e finiscono per scegliere opzioni dominate.

In maniera simile, in un altro esperimento di KT prima Ë stata proposta una scelta a due stadi. Primo stadio, - probabilità di 0.75 di finire il gioco senza vincite. - probabilità di 0.25 di passare al secondo stadio, nel quale ci sono due prospetti: La scelta tra E e F deve essere fatta prima del primo stadio.

Prospetto E: $4,000 con probabilità 0.8; $0 con probabilità 0.2. Prospetto F: $3,000 con certezza. Su 141 partecipanti, il 78% ha scelto il prospetto F. Ma quando ai partecipanti si chiede cosa preferiscono tra E’=($4,000, probabilità=0.2) F’ ($3,000, probabilità=0.25) Il 65% sceglie E’. Ma la lotteria E Ë equivalente alla lotteria E’ mentre F corrisponde a F’, ma gli individui non se ne rendono conto.

Il rifiuto di prospetti con piccole poste e l’enorme avversione al rischio. Rabin (2000) dimostra matematicamente che se un individuo rifiuta una lotteria (11, p=0.5; -10, p=0.5), dato il suo livello di ricchezza (che per piccole variazioni di ricchezza dovrebbe avere una funzione quasi lineare), ciÚ implica un livello elevatissimo di avversione al rischio, tale da condurre al rifiuto di lotterie con probabilità di vincere somme infinite!

Intuizione: si consideri per esempio che la ricchezza media di una famiglia italiana Ë 145,000 euro (dati Banca d’Italia). Una lotteria di +11 o -10 non dovrebbe cambiare assolutamente nulla per il benessere di un Italiano medio: secondo la teoria dell’utilità attesa tale soggetto accettando la lotteria dovrebbe ottenere al 50% 144990 oppure 145011! Una variazione del tutto trascurabile. Per rifiutare dovrebbe avere una enorme avversione al rischio.

Barberis, Huang e Thaler [2006] in un esperimento con grossi payoff monetari propongono a studenti di MBA, analisti finanziari e ricchi investitori molti dei quali hanno livelli di ricchezza intorno ai 10 milioni, la seguente scommessa (con poste vere): L=($550, 0.5; –$500, 0.5). La stragrande maggioranza (dal 70 al 90%) rifiuta la lotteria.

Considerando che secondo la teoria dell’utilità attesa, essi scelgono tra W+550 e W-500 (dove W=Ricchezza complessiva posseduta), la funzione dovrebbe essere quasi lineare. Alternativamente, Ë necessaria una enorme avversione al rischio per giustificare queste scelte.

Barberis, Huang, Thaler (2006) sostengono che gli individui nelle loro decisioni mostrano molto spesso “narrow framing”: quando si propone una lotteria a un individuo egli la valuta in modo isolato, senza tener conto dell’impatto complessivo sul proprio benessere. Le persone quindi sono spesso avverse a piccole lotterie, anche quando il valore atteso Ë positivo.

Preferenze intransitive. Un esperimento di Lichtenstein e Slovic (1971) con scelta tra due lotterie ha originariamente mostrato scelte incoerenti delle persone. Nell’esperimento una delle lotterie aveva la possibilità di vincere un alto ammontare di denaro (chiamata $-bet) con bassa probabilità, mentre l'altra lotteria dava un’alta probabilità di vincere una quantità di denaro piccola (chiamata P-bet).

Quali sono le quattro proprietà della Teoria dei Prospetti?

Come si definisce la funzione valore nella Teoria dei Prospetti?

Qual è l'esempio di funzione di valore con sensibilità decrescente?

Qual è la funzione di ponderazione delle probabilità secondo la Teoria dei Prospetti?

Qual è l'effetto certezza nella valutazione delle probabilità?

Qual è l'anomalia chiamata 'l'enigma dei rendimenti azionari'?

Qual è il coefficiente relativo di avversione al rischio necessario per spiegare un premio azionario così alto?

Quali sono i due fattori che abbassano il coefficiente di avversione al rischio secondo Benartzi e Thaler?

Esempio numerico per spiegare l’enigma dei rendimenti azionari: Supponiamo gli individui abbiano una funzione di valore lineare con avversione alle perdite. Si consideri la scelta di un prospetto G: (200, 0.5; -100; 0.5) in un dato periodo con valore atteso=50. L’utilità, secondo la Prospect Theory, sarà: V(G)=0.5*200+0.5*2.5*(-100)=-25. Su un solo periodo gli individui rifiutano di partecipare alla lotteria. Se invece di considerare un unico periodo si può valutare il prospetto su un orizzonte temporale più ampio, si hanno le seguenti possibilità: a. 400 con p=0.25; b. 100 con p=0.5; c. -200 con p=0.25. In questo caso un individuo se valuta complessivamente gli eventi – nonostante la sua avversione alle perdite – avrebbe convenienza a partecipare alla doppia lotteria. Infatti l’utilità dalla doppia lotteria è: V=0.25*400+0.5*100+0.25*2.5*(-200)=+25. Tuttavia, se gli individui soffrono di prospettiva limitata e quindi la valutazione dei prospetti non è fatta nel complesso ma viene fatta volta per volta, gli individui rifiuteranno di partecipare in ogni singolo periodo poiché considerano una doppia utilità negativa di -25.

La funzione di ponderazione delle probabilità è stata usata per spiegare l’eccesso di assicurazione. Gli assicurati devono decidere tipicamente il livello della franchigia – l’ammontare che in caso di sinistro non sarà rimborsato dalla compagnia assicurativa e che rimane a carico degli assicurati. Il costo dell’assicurazione risulta tanto più alto quanto minore è la franchigia.

Le famiglie possono scegliere la franchigia tra quattro possibili opzioni: 100, 250, 500 e 1000 dollari. Con una franchigia di 500 si paga un prezzo di 715. Con una franchigia di 1000 il premio assicurativo è 615. Pertanto, per assicurarsi contro una spesa addizionale di 500 le famiglie pagano 100 dollari in più come premio assicurativo. La probabilità che si verifichi un sinistro è intorno al 4-5%. Nonostante ciò, molte famiglie hanno optato per franchigie basse pagando premi assicurativi eccessivamente alti: il 48% ha scelto una franchigia di 500; il 35% una franchigia di 250, solo il 17% ha scelto la franchigia di 1000. In pratica, si registra una tendenza a sovra-assicurarsi.

Qual è la spiegazione della tendenza a sovra-assicurarsi?

Qual è la spesa complessiva per giochi d'azzardo in Italia nel 2020?

Qual è la probabilità di vincere il primo premio della Lotteria Italia?

Cosa suggerisce la Teoria dei Prospetti riguardo alla partecipazione ai giochi?

Qual è la funzione di ponderazione delle probabilità?

Cosa afferma la Teoria del rimpianto di Loomes e Sugden?