¿Qué es el conjunto R5?

¿Qué son las funciones reales de variable real?

¿Qué son las sucesiones de números reales?

¿Qué son los límites de funciones y funciones continuas?

¿Cuáles son los teoremas sobre funciones continuas en intervalos?

¿Cómo se define y calcula la derivada?

¿Cuáles son los teoremas sobre funciones derivables?

¿Qué son los polinomios?

¿Qué son los ceros de funciones?

¿Cómo se representa una función?

¿Cuáles son las aplicaciones de las derivadas?

¿Qué son las series de números reales?

¿Qué son las sucesiones y series de funciones?

¿Qué son las series de potencias?

¿Qué son los polinomios y series de Taylor?

¿Cómo se calculan los límites indeterminados?

¿Qué es la integración en R?

¿Cuáles son la definición y propiedades de la integración?

¿Cuáles son los teoremas fundamentales de la integración?

¿Cómo se calcula una primitiva?

¿Qué son las integrales impropias?

¿Qué es la integración aproximada?

¿Cuáles son las aplicaciones de la integración?

¿Qué es la introducción al cálculo en C?

¿Qué son las funciones de variable compleja?

¿Qué son las series complejas de potencias?

¿Qué temas de Cálculo I se verían por primera vez?

¿Qué novedades se introdujeron en la versión 2003 de los apuntes?

¿Cómo se organizan los temas en la versión 2004?

¿Qué se debe dar antes que el límite de sucesiones?

¿Qué tipos de números se van a tratar en el texto?

¿Cuáles son los números que se estudian en el texto?

¿Qué se corrige en la versión 2005?

¿Qué cambios se mencionan en la versión 2006?

¿Qué se incluye en los problemas comunes según el texto?

¿Qué se menciona sobre las sucesiones de Cauchy?

¿Qué se dice sobre los límites indeterminados?

¿Qué se menciona sobre la sección 3.3?

¿Qué se dice sobre la versión 2006-2009?

¿Cuáles son las propiedades de cuerpo que cumplen las operaciones '+' y '·'?

¿Qué relación satisface la propiedad de orden?

¿Cómo se define la diferencia y el cociente en términos de los números naturales y enteros?

¿Qué es el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo?

¿Cómo se demuestra una afirmación por inducción?

¿Qué es el máximo común divisor?

¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo?

¿Qué representa el factorial de un número?

¿Cuál es la fórmula del binomio de Newton?

¿Qué es un número combinatorio?

Demostrémosla por inducción. Es claramente cierta sin=1 :(a+b) 1 = (1 0) a 1 b 0 + (1 1) a 0 b 1 . Suponiendo que es cierta paran, probémosla ahora paran+1 : (a+b) n+1 = (a+b)(a+b) n = (a+b) [ a n +···+ (n k−1) a n−k+1 b k−1 + (n k) a n−k b k +···+b n ] = a n+1 + [(n 1) + (n 0)] a n b +···+ [(n k) + (n k−1)] a n+1−k b k +···+b n+1 = n+1 ∑ k=0 (n+1 k) a n+1−k b k , puesto que se cumple: (n k) + (n k−1) = n! k!(n−k)! + n! (k−1)!(n−k+1)! = n! (n−k+1)+k k!(n−k+1)! = (n+1 k) .

Existen infinitos números racionales e irracionales. Observemos que entre dos racionalesp>q, por cercanos que estén, existen infinitos racionales. En efecto, r 1 = (q+p)/2 es otro racional que se halla entre los dos. Otros infinitos, por ejemplo, son r 2 = (q+r 1)/2 ,r 3 = (q+r 2)/2 , ... Recordamos que una forma de precisar de forma única un racional es dar su expresión decimal, que o bien tiene sólo un número finito de decimales o bien tiene además un número finito de decimales que se repiten periódicamente ( 7/8 = 0.875 es un ejemplo de la primera situación y 8/7 = 1.142857142857... lo es de la segunda). Pensando en la expresión decimal vuelve a estar muy claro que entre dos racionales existen otros infinitos y que podemos encontrar racionales tan próximos como queramos a uno dado.

Sin embargo, a pesar de estar tan juntos los racionales, aparecen de forma natural (ya desde los griegos) otros números que no son racionales (es decir, irracionales; su expresión decimal tendrá infinitos decimales no repetidos periódicamente). Por ejemplo, el teorema de Pitágoras asegura que la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 mide √2 unidades de longitud. Es fácil probar que √2 no es racional (demostrar que otros números famosos como π o e son irracionales es bastante más complicado). Para hacerlo, vamos a suponer que lo es y llegaremos a una contradicción (es lo que se llama demostración por reducción al absurdo).

Como se sabe, un racional puede ser expresado de infinitas maneras diferentes como fracción p/q. De ellas, se llama irreducible a la que tiene el denominador más pequeño posible, o sea, aquella con p y q sin divisores comunes. Supongamos que √2=p/q fracción irreducible. Entonces p 2 =2q 2 . Así p 2 es par, con lo que también debe serlo (los cuadrados de pares son pares e impares los de los impares) y por tanto es de la forma p=2m. Así pues, 2m 2 =q 2 y q también es par, en contradicción con la suposición de que p/q fuese irreducible.

Observemos que la suma z=p+x con p racional y x irracional es necesariamente otro número irracional (si fuese z racional, sería x=z−p también racional). Y lo mismo sucede, si el racional p6=0, con su producto (se prueba casi igual; que conste que suma y producto de irracionales puede ser racional, por ejemplo, √2+ (−√2) =0 y √2 √2=2). Conocemos ya, pues, infinitos irracionales: todos los de la forma p+q √2 , con p,q∈Z. Con esto podemos ya ver que también entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos.

Determinemos todos los reales x que satisfacen: x^2 + 2x > 3

Hallemos los x que cumplen: |√x−2|=x

Hallemos los x que cumplen: |x^2−1|≤3⇔−3≤x^2−1≤3⇔−2≤x^2≤4.

Hallemos los x que cumplen: |x^2 - 1| ≤ 3 ⇔ -3 ≤ x^2 - 1 ≤ 3 ⇔ -2 ≤ x^2 ≤ 4.

Probemos ahora que para todo x se cumple -8 ≤ |x - 5| - |x + 3| ≤ 8.

Un conjunto A ⊂ R se dice acotado superiormente (inferiormente) si existe k ∈ R tal que a ≤ k (a ≥ k) para todo a ∈ A.

Extremo superior (o supremo) de A es la menor de sus cotas superiores.

Axioma del extremo superior: Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee extremo superior.

Dada cualquier cota racional siempre puedo dar otra menor (más cercana al irracional √2). El mismo conjunto, visto como subconjunto de R debe tener supremo: √2 lo es.

Se llama entorno de centro a y radio r>0 a B(a,r) ={x:|x−a|

Ej. [a,b] no es abierto porque no todos sus puntos son interiores; hay dos de ellos que no lo son: a y b (los demás sí lo son).

Teorema: A es cerrado si y solo si su complementario R−A es abierto.