limiti

Le proprietà delle funzioni (ripasso)

il limite di una funzione serve a studiare il comportamento della funzione quando x tende a un certo valore

Multiple Select

Quali affermazioni sono corrette

• f(x)>0 per ogni x
  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0$ 
  

•  $\lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0$  
  

• f(x)<0 se x<0
  

•  $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=0$  

limite di funzioni continue

per calcolare il limite di una funzione f(x) definita in un punto x=a è sufficiente sostituire il valore x=a nell'espressione della funzione.
Esempio:

 $\lim_{x\rightarrow0}\ \cos x=1$  

regole utili per il calcolo dei limiti

calcolo dei limiti: forme indeterminate

Quando un limite si presenta in una forma indeterminata,  bisogna adottare un determinato procedimento per eliminare la forma indeterminata.

Multiple Select

Quali dei seguenti limiti sono corretti?

• $\lim_{x\rightarrow0}x\cdot senx=1$

• $\lim_{x\rightarrow0}2x+senx=0$

• $\lim_{x\rightarrow1}x\log_2x=1$

• $\lim_{x\rightarrow1}x\cdot3^{\frac{1}{x}}=3$

Multiple Select

Quale dei seguenti limiti si presenta in una forma indeterminata?

• $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{senx}{x}$

• $\lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{1}{x}$

• $\lim_{x\rightarrow-\infty}\ x\cdot e^x$

• $\lim_{x\rightarrow-\infty}\ \frac{e^x}{x}$

• $\lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\left(x-1\right)}{x+2}$

Multiple Select

I seguenti non si presentano nella forma indeterminata. Quali sono corretti?

• $\lim_{x\rightarrow0^+}\ \frac{3^x}{x}=+\infty$

• $\lim_{x\rightarrow0^+}\ \frac{e^x}{senx}=0$

• $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ \frac{2}{x-1}=0$

• $\lim_{x\rightarrow0^+}\ x\cdot senx=\infty$

• $\lim_{x\rightarrow0^+}\ 3^{\log x}=0$

"Non sempre esiste il limite di una funzione per x che tende ad un certo valore"

ESEMPIO

 $\lim_{x\rightarrow+\infty}senx$  NON ESISTE!!

(NB: non confondere in termine "non esiste" con "indeterminato". Il significato è diverso. Il limite indeterminato lo si può rendere determinato e quindi calcolare!)

Multiple Select

Quali dei seguenti limiti non esistono?

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ \frac{senx}{x}$ 

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}2+senx=0$ 

•  $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{2}{x}$ 

•  $\lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{senx}{tgx}$ 

LIMITI NOTEVOLI

1° limite per x che tende a infinito di un polinomio.



Se il limite si presenta nella forma infinito-infinito si raccoglie il grado massimo.

il risultato è sempre + o - infinito

Multiple Select

Quali dei seguenti limiti è corretto?

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ 3x^2+x-2=+\infty$  
  

•  $\lim_{x\rightarrow-\infty}\ x^3+x-2=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ 5x^4-x^2-2=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow-\infty}\ -3x^5+x-2=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow-\infty}\ 3x^4+x-2=-\infty$  

LIMITE NOTEVOLE: Limite per x che tende a infinito del rapporto di polinomi

Per eliminare la forma indeterminata si raccoglie la x di grado massimo al numeratore e al denominatore. Esempio:

 $\lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\text{}x^2+x-1}{2x^3-1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\text{}x^2\left(1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^3\left(2-\frac{1}{x^3}\right)}=0$  

Multiple Choice

 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ \frac{x^2-x+1}{2x-1}$  

Qual è il risultato del limite?

•  $+\infty$  

• 0

• 1

•  $\frac{1}{2}$  

•  $-\infty$  

Multiple Choice

 $\lim_{x\rightarrow-\infty}\ \frac{x^3-3x+2}{2x^3-1}$  

Qual è il risultato del limite?

•  $+\infty$  

• 0

• 1

•  $\frac{1}{2}$  

•  $-\infty$  

Multiple Choice

 $\lim_{x\rightarrow-\infty}\ \frac{x^2-3x+2}{2x^3-1}$  

Qual è il risultato del limite?

•  $+\infty$  

• 0

• 1

•  $\frac{1}{2}$  

•  $-\infty$  

LIMITI NOTEVOLI

 $\left[\frac{0}{0}\right]$  

limite del rapporto di polinomi nella forma 0/0: Si deve scomporre numeratore e denominatore e poi semplificare .

Multiple Choice

 $\lim_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x^2-1\right)}{x-1}$  

Qual è il risultato?

• 0

• 1

• 2

• 3

•  $\infty$  

LIMITI NOTEVOLI  $\left[\frac{0}{0}\right]$  

 $\lim_{x\rightarrow0\ }\ \frac{senx}{x}=1$  

APPLICAZIONE DEL LIMITE NOTEVOLE  senx/x

Esempi di applicazione del limite notevole

Si può generalizzare il limite notevole sostituendo una funzione f(x) che tende a 0. Il risultato rimane 1

Multiple Select

Quali limiti sono corretti?

• $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{senx}{2x}=\frac{1}{2}$

• $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{sen3x}{x}=\frac{3}{2}$

• $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{sen3x}{sen5x}=\frac{3}{5}$

• $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{tg4x}{2x}=2$

• $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{x}{senx}=0$

Multiple Choice

Quanto vale il limite

 $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{x+senx}{sen2x}=?$  

• 0

• 1

• 2

• 1/2

Multiple Choice

Quanto vale il limite

 $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{tg3x}{sen5x}=?$  

• 3/5

• 5/3

• 1

• 0

LIMITI NOTEVOLI

forma indeterminata

 $\left[1^{\infty}\right]$  

proprietà della funzione

(usa la calcolatrice grafica)

APPLICAZIONE

Si può generalizzare il limite notevole sostituendo una funzione f(x) che tende a infinito. Il risultato rimane e.

Multiple Choice

Quanto vale

 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ ^{\left(1-\frac{1}{x}\right)^x}=?$  

•  $e$  

•  $\frac{1}{e}$  

• 1

•  $+\infty$  

Multiple Choice

Quanto vale

 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ ^{\left(1+\frac{2}{x}\right)^x}=?$  

•  $e^2$  

•  $\frac{1}{e}$  

•  $e$  

•  $+\infty$  

Multiple Choice

Quanto vale

 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ ^{\left(1+\frac{2}{3x}\right)^{4x}}=?$  

•  $e^2$  

•  $\frac{1}{e^8}$  

•  $e^{\frac{8}{3}}$  

•  $e^4$  

Multiple Choice

Quanto vale

 $\lim_{x\rightarrow0}\ ^{\left(1+x\right)^{\frac{4}{x}}}=?$  

•  $e^2$  

•  $\frac{1}{e^8}$  

•  $e^{\frac{8}{3}}$  

•  $e^4$  

LIMITE NOTEVOLE

[0/0]

Multiple Choice

Quanto vale

 $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{\ln\left(1+2x\right)}{3x}=?$  

•  $e^{ }$  

•  $\frac{2}{3}$  

•  $\frac{3}{2}$  

•  $1$  

APPLICAZIONE

Fill in the Blank

Qual è il valore del limite

 $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{\ln\left(4x+1\right)}{2x}=?$  

ESEMPI:

calcolo dei limiti