Actividad 6

Matemáticas V Actividad 6

DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES

Profr. Israel Aguilar Flores

Colegio de Bachilleres Plantel 14 Milpa Alta "Fidencio Villanueva Rojas"

DERIVADA DEL PRODUCTO

• Cuando se quiere derivar una función que implica un producto de dos funciones:

   $f\left(x\right)=u\cdot v$  

• Su derivada será:  $f'\left(x\right)=u'v+uv'$  

EJEMPLO 1:

• DERIVAR LA FUNCIÓN

   $f\left(x\right)=\left(x^2-3x-6\right)\left(2x^3-10x\right)$ 

• Consideraremos que:  $u=x^2-3x-6$  y que $v=2x^3-10x$  

• Porlo tanto:  $u'=2x-3$  y  $v'=6x^2-10$  

• Sustituyendo en la formula:  $f'\left(x\right)=u'v+uv'$  

•  $f'\left(x\right)=\left(2x-3\right)\left(2x^3-10x\right)+\left(x^2-3x-6\right)\left(6x^2-10\right)$  

EJEMPLO 1:

• Multiplicando los términos:  $f'\left(x\right)=4x^4-20x^2-6x^3+30x+6x^4-10x^2-18x^3+30x-36x^2+60$ 

• Al reducir términos semejantes obtenemos la derivada final: 

   $f'\left(x\right)=10x^4-24x^3-66x^2+60x+60$  

EJEMPLO 2:

• DERIVAR LA FUNCIÓN

   $f'\left(x\right)=\left(2x^2+5x\right)\left(6x-3\right)$ 

• Consideraremos que:  $u=2x^2-5x$  y que $v=6x-3$  

• Porlo tanto:  $u'=4x-5$  y  $v'=6$  

• Sustituyendo en la formula:  $f'\left(x\right)=u'v+uv'$  

•  $f'\left(x\right)=\left(4x-5\right)\left(6x-3\right)+\left(2x^2-5x\right)\left(6\right)$  

EJEMPLO 2:

• Multiplicando los términos:  $f'\left(x\right)=24x^2-12x-30x+15+12x^2-30x$ 

• Al reducir términos semejantes obtenemos la derivada final: 

   $f'\left(x\right)=36x^2-72x+15$  

Producto de funciones

Resuelve en tu cuaderno los dos ejercicios, tómales una fotografía y posteriormente sube tu evidencia en la actividad de Classroom:

DERIVADA DEL COCIENTE

• Cuando se quiere derivar una función que es el cociente de dos funciones:

   $f\left(x\right)=\frac{u}{v}$  

• Su derivada será:  $f'\left(x\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$  

EJEMPLO 1:

• DERIVAR LA FUNCIÓN

   $f\left(x\right)=\frac{x^3-3x}{3x^2-9}$ 

• Consideraremos que:  $u=x^3-3x$  y que $v=3x^2-9$  

• Porlo tanto:  $u'=3x^2-3$  y  $v'=6x$  

• Sustituyendo en la formula:  $f'\left(x\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$  

•  $f'\left(x\right)=\frac{\left(3x^2-3\right)\left(3x^2-9\right)-\left(x^3-3x\right)\left(6x\right)}{\left(3x^2-9\right)^2}$  

EJEMPLO 1:

• Multiplicando los términos, consideramos que la segunda multiplicación lleva un signo negativo:  $f'\left(x\right)=\frac{9x^4-27x^2-9x^2+27-\left(6x^4-18x^2\right)}{\left(3x^2-9\right)^2}$ 

• Multiplicamos los signos:

   $f'\left(x\right)=\frac{9x^4-27x^2-9x^2+27-6x^4+18x^2}{\left(3x^2-9\right)^2}$  

• Al reducir términos semejantes obtenemos la derivada final:  $f'\left(x\right)=\frac{3x^4-18x^2+27}{\left(3x^2-9\right)^2}$  

EJEMPLO 2:

• DERIVAR LA FUNCIÓN

   $f\left(x\right)=\frac{5x^2}{-2x^2+11x}$ 

• Consideraremos que:  $u=5x^2$  y que $v=-2x^2+11x$  

• Porlo tanto:  $u'=10x$  y  $v'=-4x+11$  

• Sustituyendo en la formula:  $f'\left(x\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$  

•  $f'\left(x\right)=\frac{\left(10x\right)\left(-2x^2+11x\right)-\left(5x^2\right)\left(-4x+11\right)}{\left(-2x^2+11x\right)^2}$  

EJEMPLO 2:

• Multiplicando los términos, consideramos que la segunda multiplicación lleva un signo negativo:  $f'\left(x\right)=\frac{20x^3+110x^2-\left(-20x^3+55x^2\right)}{\left(-2x^2+11x\right)^2}$ 

• Multiplicamos los signos:

   $f'\left(x\right)=\frac{20x^3+110x^2+20x^3-55x^2}{\left(-2x^2+11x\right)^2}$  

• Al reducir términos semejantes obtenemos la derivada final:  $f'\left(x\right)=\frac{40x^3+55x^2}{\left(-2x^2+11x\right)^2}$  

Cociente de funciones

Resuelve en tu cuaderno los dos ejercicios, tómales una fotografía y posteriormente sube tu evidencia en la actividad de Classroom: