Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal, así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Sistema de ecuaciones lineales

Conceptos fundamentales

Ecuacion

Segun La enciclopedia Encarta

Una ecuacion es una Igualdad que contiene una o más incógnitas.

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Ecuación lineal

Una ecuación entera de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. 

Sistema

Un sistema (del latín systēma, y este del griego σύστημα sýstēma 'reunión, conjunto, agregado') es "un objeto complejo cuyas partes o componentes se relacionan con al menos alguno de los demás componentes";¹​ puede ser material o conceptual.

Conceptos de sistema de ecuaciones

Es la reunión de dos o mas ecuaciones con dos o mas incógnitas.

Álgebra de Baldor

Ecuaciones simultaneas

Dos o mas ecuaciones con dos o mas incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Ecuaciones Equivalentes

Son las que se obtiene una de la otra.
Ejemplo:
x+y=4  $\equiv$  2x+2y=8 

Solución de las ecuaciones equivalentes

Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes.

Ecuaciones Independientes

Son las que se no obtienen una de la otra.

Solucion de las ecuaciones independientes

Solo tienen una y sola una solucion comun, por eso son simultaneas.

Ecuaciones incompatibles

Son ecuaciones independientes que no tienen solucion comun.

Ejemplo:

x+2y=10

2x+4y=5

Solucion de un sistema de ecuacion lineales

Es un grupo de valores de las incognitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.

Posible o Compatible

Un sistema de ecuación es posible o compatible cuando tienen una solución.

Imposible o incompatible

Un sistema de ecuacion es imposible o incompatible cuando no tiene solucion

Sistema compatible

Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solucion.

Sistema indeterminado

Es cuando tiene infinitas soluciones.

Resolución

Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama eliminación.

Métodos de eliminación mas comunes

Reducción

Igualación

Sustitución