Media geometrica

Media geometrica

a doua numere reale pozitive

Media geometrica sau media proporțională a două numere reale pozitive

este egală cu rădăcina pătrată din produsul lor.

Exemplu

1. Calculați media geometrică a numerelor a= 4 și b=16.

 $Mg=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{4\cdot16}=\sqrt{64}=8$  

Exemplu 2

1. Calculați media geometrică a numerelor 

 $a=5\sqrt{2}$  si  $b=10\sqrt{2}$  

 $Mg=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{5\sqrt{2}\cdot10\sqrt{2}}=\sqrt{50\cdot2}=\sqrt{100}=10$  

Obseravție

Dacă

 $0<a<b$  atunci  $a\le\sqrt{a\cdot b}\le b$  

Inegalitatea mediilor

Dacă x si y sunt numere reale pozitive , atunci are loc inegalitatea mediilor:

 $M_h\le M_g\le M_a$  
unde  $M_h=\frac{2xy}{x+y}$  (media armonica)

Exemplu

Verificați inegalitatea mediilor pentru numerele x=6 si y=54.

Calculăm media arminică, media geometrică si media aritmetică pentru numerele 6 și 54.

 $M_h=\frac{2xy}{x+y}=\frac{2\cdot6\cdot54}{6+54}=\frac{648}{60}=10,8$  
 $M_g=\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{6\cdot54}=\sqrt{324}=18$  
 $M_a=\frac{x+y}{2}=\frac{6+64}{2}=30$  
 $10,8<18<30$  
Deci  $M_h\le M_g\le M_a$