Ángulo Doble y Mitad. Simplificación de expresiones

Ángulo Doble y Mitad. Simplificación de expresiones

Jesús Lozano

SOBRE ESTA PRESENTACIÓN

VE TOMANDO NOTAS EN TU CUADERNO Y ANOTA TODAS TUS DUDAS. AL FINAL HABRÁ UNA DIAPOSITIVA PARA QUE LAS ENVIES.

Recordemos las fórmulas del ángulo doble

•  $sen2x=2senx\cdot\cos x$  

•  $\cos2x=\cos^2x-sen^2x$  

•  $tag2x=\frac{2\cdot tagx}{1-tag^2x}$  

• Para repasarlas un poco coge bolígrafo y papel y haz el siguiente ejercicio

Multiple Choice

Simplifica

 $\frac{2\cdot sen^2x+\cos2x-sen2x}{\cos x-senx}$  

• senx

• cosx

• senx-cox

• cox-senx

Multiple Choice

Simplifica:

 $\frac{1-\cos2x}{\cos^2x}$  
PISTA: 1=SEN ^2+COS^2

• cosx

• senx+cosx

• secx

•  $tag^2x$  

Multiple Choice

Simplifica:      $\left(1+tagx\right)\cdot tag2x\cdot\operatorname{cosec}x$  
PISTA:

 $a^2-b^2=\left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)$  

•  $\frac{1}{senx\cdot\cos x}$  

• sen2x

•  $\frac{2}{\cos x-senx}$  

Ángulo Mitad

Las fórmulas del ángulo doble anteriores relacionan dos ángulos, uno de los cuales es el doble del otro, es decir también se podrían escribir por ejemplo como

 $sen4x=\ 2\cdot sen2x\cdot\cos2x\ \ \ \$  ó
 $senx=2\cdot sen\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}$  
Nos vamos a fijar en el segundo caso, pero antes hagamos unas operaciones importantes

Demostración de las fórmulas del ángulo mitad

  $1=\cos^2x+sen^2x$  

 $\cos2x=\cos^2x-sen^2x$  

si sumamos término a término nos queda

 $1+\cos2x=2\cdot\cos^2x$  

si restamos término a término nos queda

 $1-\cos2x=2\cdot sen^2x$  

Demostración de las fórmulas del ángulo mitad

 

si en las dos últimas fórmulas donde pone 2x ponemos x, y teniendo en cuenta lo que dijimos en la diapositiva 6, nos queda:


 $1+\cos x\ =2\cdot\cos^2\frac{x}{2}\ \ \ \ \ y\ \ \ \ \ \ 1-\cos x=2\cdot sen^2\frac{x}{2}$  

Fórmulas del ángulo mitad x/2

 

Despejando el cos(x/2) y sen(x/2) obtenemos

 $\$  $\cos\ \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\ \ \ \ \ y\ \ \ \ \ \ sen\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$  

y dividiendo seno entre coseno hallamos la tangente


 $tag\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$  

Ejemplo 1

Calcular razones de 15º sin calculadora

Ejemplo 2

Simplificar la expresión

 $2\cdot tagx\cdot\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-senx$  

Multiple Choice

• -2senx

• 2senx

• -2 cosx

• 2 cosx

• senx

Multiple Choice

• 2

• 3

• 4

• 5

• 6

Multiple Choice

• cotg x

• tg x

• sen x

• cos x

• $\frac{1}{senx}$

Multiple Choice

• 3

• $\frac{1}{2}$

• $\frac{2}{5}$

• $\frac{1}{7}$

• 5

Multiple Choice

• 2

• 3

• 4

• 5

• 6

Multiple Choice

• 1

• 2

• $\frac{\sqrt{2}}{3}$

• $\frac{3\sqrt{7}}{5}$

• $\frac{3\sqrt{5}}{10}$

Multiple Choice

• $\frac{\sqrt{3}}{3}$

• 1/3

• $\frac{\sqrt{6}}{2}$

• $\frac{3}{\sqrt{3}}$

• 2/5

EPÍLOGO: FÓRMULAS DE REDUCCIÓN DE POTENCIAS

• Cuando demostramos las fórmulas del ángulo mitad, uno de los pasos intermedios fue ( diapositiva 7):

•  $1+\cos2x\ =2\cdot\cos^2x\ \ \ \ \ y\ \ \ \ \ \ 1-\cos2x=2\cdot sen^2x$  

• si en estas fórmulas despejamos coseno cuadrado y seno cuadrado nos queda:

•  $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\ \ \ \ y\ \ \ \ \ \ sen^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$  

• que utilizarás el año que viene para transformar integrales, que de otro modo no se resuelven. Así que apréndelas bien.

Open Ended

ESCRIBE TUS DUDAS Y SI PUEDE SER EL Nº DE DIAPOSITIVA DONDE ESTÁ.