Aritmetičk niz

Aritmetičk niz

Odgovor

Ako ste napisali 5, 7, 9, 11, 13 odgovorili ste tačno. Možete li da uočite pravilo po kojem se ređaju članovi ovog niza?

Odgovor

Ako ste napisali 11, 8, 5, 2, -1 odgovorili ste tačno. Možete li da uočite pravilo po kojem se ređaju članovi ovog niza?

Pravilo po kojem su se nizali članovi nizova

Primetili ste da je razlika između svaka dva susedna člana niza jednaka. U prvom slučaju svaki član je veći za dva od prethodnog, a u drugom svaki član je manji za 3 od prethodnog.

Nizovi brojeva koji imaju svojstva zadatih nizova su aritmetički nizovi. 

Definicija

Niz brojeva, kod koga je razlika između bilo kog člana (počev od drugog) i njemu prethodnog člana konstantna (stalna), je aritmetički niz. Broj kojem su jednake sve te razlike je razlika (diferencija) tog niza i označava se slovom

 $d$ 

Razlika aritmetičkog niza d

Razlika aritmetičkog niza se dobija po pravilu

 $d=x_{2\ }-x_{1\ }=x_3-x_2=x_4-x_3=x_5-x_4=...$  

Članovi aritmetičkog niza

Ako uzmemo da je x1 prvi član niza, a d razlika niza, onda članove aritmetičkog niza možemo zapisati na sledeći način:

 $x_2=x_1+d$ 

 $x_3=x_2+d=x_1+2d$ 

 $x_4=x_3+d=x_2+2d=x_1+3d$ 

 $x_5=x_4+d=x_3+2d=x_2+3d=x_1+4d$  ...
 

Opšti član aritmetičkog niza

 $x_n=x_1+\left(n-1\right)d$ 

je formula za opšti član aritmetičkog niza, na osnovu prethodno navedenog zapisa članova niza.

 $x_1$  je prvi član aritmetičkog niza, a d je razlika aritmetičkog niza. n predstavlja redni broj člana u nizu.

Multiple Select

Neka je dat niz brojeva 1, 4, 7, 10, 13, ... Da li je dati niz aritmetički?

• DA

• NE

Multiple Select

Neka je dat niz brojeva 1, 4, 7, 10, 13, ... Koji opšeti član odgovara datom nizu?

• $a_n=3+3\left(n-1\right)$

• $a_n=1+3\left(n-1\right)$
  

• $a_n=1+3n$

• $a_n=3+3n$

Naziv ''aritmetički'' niz

Niz nosi naziv aritmetički jer mu je svaki član, počeve od drugog, jednak aritmetičkoj sredini prethodnika i sledbenika, i ne samo njih već i svih članova ispred i iza koji se nalaze na jednakoj udaljenosti od posmatranog člana.

PRIMER: Posmatrajmo niz brojeva 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, ...

 $6=a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{2+10}{2}$ 

 $10=a_3=\frac{a_2+a_4}{2}=\frac{6+14}{2}$  ili

 $10=a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=\frac{2+18}{2}$  ili

 $10=a_3=\frac{a_1+a_2+a_4+a_5}{4}=\frac{2+6+14+18}{4}$  

Uopšteno važi za članove aritmtičkog niza kada je p < n,

 $a_n=\frac{a_{n+p}+a_{n-p}}{2}.$ 

 $a_{n+p\ }$  i  $a_{n-p}$  nazivamo simetrični članovi.

Za tri uzastopna člana aritmetičkog niza x, y i z, čiji su nam indeksi nepoznati, važi.

 $x=a,\ y=a+d,\ z=a+2d$ 
ili
 $x=a-d,\ y=a,\ z=a+d$ 
ili
 $x=a-2d,\ y=a-d,\ z=a$  

Multiple Select

Dat je aritmetički niz 1, 3, 5, 7, ..., 95, 97, 99. Izračunati sumu navedenih članova niza?

• 5000

• 9900

• 10000

• 2500

Da li ste redom sabirali sve članove u prethodnom zadatku? Da li ste našli neki kraći način da saberete članove niza u prethodnom zadatku?

Zamislite da smo rekli da saberete sve članove doo broja 9999! Ili još više! Definitivno postoji jednostavniji i kraći način da se sabere prvih n članova aritmetičkog niza.

Zbir (suma) prvih n članova aritmetičkog niza, u oznaci S_n, se računa po sledećem obrascu:

 $S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$   ili   $S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+\left(n-1\right)d\right)$  .

Indeks n u oznaci za sumu označava ukupan broj članova aritmetičkog niza koji se sabira.

Koji od ovih obrazaca ćete upotrebiti zavisi od poznatih veličina niza.

Multiple Select

Na razgovoru za posao saznali ste da je zarada za prvi mesec 1000 evra. Ako se pokažete kao prava osoba za taj posao onda ćete drugog meseca dobiti 1200 evra, trećeg 1400 evra, i tako redom. Koliko je uvećanje zarade iz meseca u mesec?

• 0 evra

• 100 evra

• 200 evra

• 400 evra

Multiple Select

Na razgovoru za posao saznali ste da je zarada za prvi mesec 1000 evra. Ako se pokažete kao prava osoba za taj posao onda ćete drugog meseca dobiti 1200 evra, trećeg 1400 evra, i tako redom. Koliko ćete zaraditi u 6. mesecu?

• 1000 evra

• 2000 evra

• 4000 evra

• 6000 evra

KRAJ