Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Kelas IX

Kompetensi Dasar

• Menyelesaikan persamaan kuadrat dan karakteristiknya berdasarkanakar-akarnya serta cara penyelesaiannya

• Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan grafik

• Menjelaskan hubungan antara koefisien dan diskriminanfungsi kuadrat dengan grafiknya

• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

• Menyajikan fungsi kudrat menggunakan tabel, persamaan dan grafik

• Menyajikan dan menyelesaikan masalah konstekstual dengan menggunakan sifat-sifat fungsi kuadrat.

Setelah melakukan pembelajaran ini siswa dapat:

• Menyelesaikan persamaan kuadrat dan mengetahui karakteristik penyelesaiannya

• Menentukan grafik dari fungsi kuadrat

• Menentukan sumbu simetri dan nilai optimal

• Menentukan fungsi Kuadrat

• Menjelaskan aplikasi dari fungsi kuadrat

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat adalah persamaan yang hanya memuat satu variabel dan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Persamaan kuadrat dalam x dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut.

 $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ax^2+bx+c=0$  
dengan a, b, c  $\epsilon$  R dan a  $\ne$  0

x = Variabel (peubah bilangan yang belum diketahui)a, b = Koefisien (faktor konstanta dari suatu bentuk aljabar)c = Konstanta (suku dari suatu bentuk aljabar yang tidak mengandung variabel)

Contoh:

Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat berikut:

1. 4x2 - 3x - 7 = 0 

2. 2x2 - 8x = 0

Jawaban:

1. a = 4 , b = -3 , c = -7

2. a = 2 , b = -8 , c = 0

B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

1. Pemfaktoran
a.  $ax^2+bx+c=0,\ a=0$  

Faktorisasi  $ax^2+bx+c=0$ adalah (x + m) (x + n), dengan syarat m + n = b dan m.n = c
contoh:  
 $x^2+5x+6=0$  
(x + 3) (x + 2) = 0
x + 3 =0 ,   x + 2 = 0
x =-3 , x = -2
Jadi, himpunan penyelesaian  $x^2+5x+6=0$   adalah {-3,-2}

 $b.\ ax^2+bx+c=0,\ a\ne1$  
Faktorisasi  $ax^2+bx+c=0$ adalah (x + m) (x + n)Dengan syarat m + n = b dan m.n = a.c
Contoh:
 $4x^2-3x-7=0$  
(4x - 7) (x + 1) = 0
4x - 7 =0 ,    x + 1 = 0
4x = -7,        x = -1
x = 7/4
jadi, HP = {7/4 , -1}

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Langkah penyelesaian dengan melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut
a. Tempatkan suku yang mengandung variabel di ruas kiri dan suku yang mengandung konstanta di ruas kanan
b. Ubahlah koefisien  $x^2$ menjadi 1
c. Tambahkan kedua ruas dengan

Contoh:

 $x^2+12x-64=0$  
 $x^2+12x=64$  
 $x^2+12x+\left(\frac{1}{2}\times12\right)^2=64+\left(\frac{1}{2}\times12\right)^2$  
 $x^2+12x+36=64+36$  
 $\left(x+6\right)^2=100$  
 $x+6=\pm10$  
 $x+6=10\ \ \ \rightarrow\ x=4$  
 $x+6=-10\ \ \ \ \rightarrow x=-16$  

3. Menggunakan Rumus Kuadratik ( Rumus abc)

secara umum rumus abc 

 $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 
Contoh:
Carilah akar-akar dari  $2x^2+5x-3=0$ dengan rumus abc
jawab:
 $2x^2+5x-3=0$  
 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$  
 $x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4.2.\left(-3\right)}}{2.2}$  
 $x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{4}$ 
  $x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}$ 
 $x_{1,2}=\frac{-5\pm7}{4}$ 
 $x_1=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$                        Jadi, akar-akarnya adalah  $\frac{1}{2}\ dan\ -3$  
 $x_2=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3$    

C. Menyusun Persamaan Kuadrat

1. Menggunakan Faktor
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:

 $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$  
2. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar
Jika  $x_1\ dan\ x_2$ merupaka akar dari persamaan kuadrat,maka persamaan kuadrat dapat dinyatakan sebagai:  $x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2=0$  
dengan  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$  
 $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1.\ x_2\ =\frac{c}{a}$  

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 2 dan -1
Jawab:

 $x_1=2,\ x_2=-1$  
 $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$  
 $\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\ \ \$  
 $x^2-x-2=0$  

 CATATAN:
dengan mengetahui diskriminan maka akar-akar dari persamaan kuadrat dibagi menjadi tiga kategori yaitu:

 • Untuk D > 0 maka akar-akarnya berbeda 

• Untuk D = 0 maka akar-akarnya kembar 

• Untuk D < 0 maka akar-akarnya tidak ada