Úlohy o společné práci

Úlohy o společné práci

Úloha o pohybu

• Z místa A do B vyrazí auto rychlostí 50 km/h, z místa B do A vyrazí auto rychlostí 60 km/h. Auta vyrážejí na stejnou trasu, stálými rychlostmi, ve stejný okamžik. Místa A,B jsou od sebe vzdálena 165 km. Kdy se potkají?

Při pohybu proti sobě, se rychlosti sčítají

•  $čas\ -\ x,\ dráha\ pomalejšího\ 50x,\ dráha\ rychlejšího\ 60x$   
  

•  $50x+60x=165$  
  

•  $x\cdot\left(50+60\right)=165$  
  

•  $x=\frac{165}{\left(50+60\right)}$  

•  $x=1,5$  

Multiple Choice

Cesta je široká 175 cm. Z každého příkopu vyráží ve stejný okamžik na cestu na Cestu šnek. Z jihu leze rychlostí 30 cm/hod, ze severu leze rychlostí 40 cm/hod. Předpokládejme, že nekličkují a lezou v kolmém směru na osu cesty a lezou přímo proti sobě. Za jak dlouho od startu se šneci potkají (v hodinách)?

• 17,5

• 2,5

• 105

• 5

Řešení

• 
  
   $175=30x+40x$  
  

•  $175=70x$  

•  $\frac{175}{70}=x$  

•  $x=2,5$  

Co když se jeden opozdí

• Místa A,B jsou od sebe vzdálena 190 km. Z místa A vyráží auto rychlostí 50 km/hod. Z místa B vyráží o půl hodiny později auto rychlostí 60 km/hod. Za jak dlouho od startu pomalejšího auta se potkají?

Sčítáme dráhy

•  $čas\ pomalejšího\ -\ x$  

•  $dráha\ pomalejšího\ -\ 50\cdot x$  

•  $čas\ rychlejšího\ -\ \left(x-0,5\right)$  

•  $dráha\ rychlejšího\ -\ 60\cdot\left(x-0,5\right)$  

•  $50\cdot x+60\cdot\left(x-0,5\right)=190$  

NEBO

•  $čas\ rychlejšího\ -\ x$  

•  $dráha\ rychlejšího\ -\ 60\cdot x$  

•  $dráha\ pomalejšího\ -\ 50\cdot0,5\ +\ 50\cdot x$  

•  $60\cdot x+50\cdot0,5+50\cdot x=190$  

Multiple Choice

Cesta je široká 175 cm. Z každého příkopu vyráží na cestu na Cestu šnek. Z jihu leze rychlostí 30 cm/hod, ze severu leze rychlostí 40 cm/hod vyrazil však 0,7 hodiny později. Předpokládejme, že nekličkují a lezou v kolmém směru na osu cesty a lezou přímo proti sobě. Za jak dlouho od startu pomalejšího se šneci potkají (v hodinách)?

• 2,5

• 11,3

• 2,9

• 6,54

Řešení

•  $175=30x+40\left(x-0,7\right)$  

•  $175=30x+40x-28\ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow+28$  

•  $203=70x\ \ \ \ \rightarrow:70$  

•  $2,9=x$  

Teď konečně ta Společná práce

• rychlost činnost (práce, napouštění, ...) je rychlost pohybu

• čas je čas

• objem vykonané práce (vypuštěný rybník, vykopaný příkop,...) je dráha pohybu

1. typ úloh

Sestřičce Aničce trvá naočkovat všechny klienty domova důchodců Kopretina 4 hodiny, sestřičce Barboře stejný úkol trvá 5 hodin. Jak dlouho by naočkovali všechny klienty dohromady?

Sestřičce Aničce trvá naočkovat všechny klienty domova důchodců Kopretina 4 hodiny, sestřičce Barboře stejný úkol trvá 5 hodin. Jak dlouho by naočkovali všechny klienty společně?

• Vyjádříme si rychlosti práce jednotlivých účastníků, dráhu a čas

•  $A=\frac{1}{4}\ ,\ B=\frac{1}{5}\ ,\ dráha=1\ domov\ důchodců,\ čas\ =x$  

•  $\frac{1}{4}\cdot x+\frac{1}{5}\cdot x=1$  

•  $\frac{x}{4}+\frac{x}{5}=1\ \ \ \ \rightarrow\cdot20$  

•  $5x+4x=20$  

•  $9x=20\ \ \ \ \ \ \rightarrow:9$   $x=\frac{20}{9}$  

Sestřičce Aničce trvá naočkovat všechny klienty domova důchodců Kopretina 4 hodiny, sestřičce Barboře stejný úkol trvá 5 hodin. Sestřička Anička očkuje sama a po půl hodině se k ní přidá sestřička Barbora. Jak dlouho budou očkovat?

•  $A=\frac{1}{4},\ B=\frac{1}{5},\ čas\ Aničky=x$  

•  $\frac{1}{4}\cdot x+\frac{1}{5}\cdot\left(x-0,5\right)=1$  

•  $\frac{x}{4}+\frac{x-0,5}{5}=1$  

•  $5x+4\left(x-0,5\right)=20$  

•  $x=\frac{22}{9}$  

Multiple Choice

Sama stavím sněhuláka 2 hodiny, dcera by ho sama stavěla 3 hodiny. Jak dlouho nám stavba bude trvat, pokud budeme stavět spolu?

• 1,2

• 1,5

• 0,2

• 5

Řešení

•  $\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow\cdot6$  

•  $3x+2x=6$  

•  $5x=6\ \ \ \ \ \ \ \rightarrow:5$  

•  $x=\frac{6}{5}=1,2$  

Multiple Choice

Sama stavím sněhuláka 2 hodiny, dcera by ho sama stavěla 3 hodiny. Jak dlouho potrvá stavba sněhuláka, když se ke mně dcera přidá po půl hodině stavby?

• 0,8

• 1

• 1,4

• 2

Řešení

•  $\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(x-0,5\right)=1\ \ \ \ \ \ \ \rightarrow\cdot6$  

•  $3x+2\left(x-0,5\right)=6$  

•  $5x-1=6\ \ \ \ \ \ \rightarrow+1$  

•  $5x=7\ \ \ \ \ \ \ \rightarrow:5$  

•  $x=\frac{7}{5}=1,4$  

2. typ úloh

Velkému pluhu trvá vypluhovat celou vesnici 3 hodiny. Pokud velkému pluhu pomůže malý pluh celou vesnici zvládnou za 1,2 hodiny. Jak dlouho by celou vesnici pluhoval malý pluh (ploužek)?

Velkému pluhu trvá vypluhovat celou vesnici 3 hodiny. Pokud velkému pluhu pomůže malý pluh celou vesnici zvládnou za 1,2 hodiny. Jak dlouho by celou vesnici pluhoval malý pluh (ploužek) sám?

• Porovnáme dráhy

•  $\frac{1}{3}\cdot1,2+\frac{1}{x}\cdot1,2=1$  

•  $\frac{1,2}{3}+\frac{1,2}{x}=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow\cdot3x$  

•  $1,2x+1,2\cdot3=3x\ \ \ \ \ \ \ \rightarrow-1,2x$  

•  $3,6=1,8x\ \ \ \ \rightarrow:1,8$  

•  $x=2$  

Velkému pluhu trvá vypluhovat celou vesnici 3 hodiny. Pokud velkému pluhu pomůže malý pluh celou vesnici zvládnou za 1,2 hodiny. Jak dlouho by celou vesnici pluhoval malý pluh (ploužek)?

• Porovnáme rychlosti

• součet jednotlivých rychlostí = společná rychlost

•  $\frac{1}{3}+\frac{1}{x}=\frac{1}{1,2}\ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow\cdot3\cdot x\cdot1,2$  

•  $1,2x+3\cdot1,2=3x$  

•  $x=2$  

Multiple Choice

Sníh na dvoře dohromady se synem zvládneme odhrnout za 20 minut. Sama vyhrnuju sníh na celém dvoře 60 minut. Za jak dlouho to zvládne syn sám?

• 15 minut

• 30 minut

• 80 minut

• 120 minut

Řešení

•  $\frac{1}{60}+\frac{1}{x}=\frac{1}{20}\ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow120x$  

•  $2x+120=6x\ \ \ \ \ \ \rightarrow-2x$  

•  $120=4x\ \ \ \ \ \ \ \rightarrow:4$  

•  $30=x$  

Když mi pomáhá opravovat písemky náš kocour, stihneme to za tři hodiny. Jak dlouho opravuju sama, jestliže kocour na opravu potřebuje čtyřikrát víc času?

•  $můj\ čas=x,\ kocourův\ čas=4x$  

•  $moje\ rychlost\ opravování=\frac{1}{x},\ kocouří\ rychlost=\frac{1}{4x}$  

•  $\frac{1}{x}+\frac{1}{4x}=\frac{1}{3}\ \ \ \ \ \ \ \rightarrow\cdot12x$  

•  $12+3=4x\ \ \ \ \ \ \rightarrow:4$  

•  $\frac{15}{4}=x$  

Multiple Select

Moje dvě děti snědí hrnec bramboráků za 20 minut, kdyby jedl každý sám svůj stejný hrnec, dceři by to trvalo o 9 minut déle. Vyberte správnou rovnici/rovnice.

•  $\frac{1}{x+9}+\frac{1}{x}=\frac{1}{20}$  

•  $\frac{1}{20}+\frac{1}{11}=\frac{1}{x}$  

•  $\frac{1}{x-9}+\frac{1}{x}=\frac{1}{20}$  

•  $x+\left(x-9\right)=20$