Permutacije, varijacije, kombinacije

Permutacije, varijacije, kombinacije

Rešenje:

Označimo knjige slovima A, B, C.

Rasporedi:

ABC, ACB

BAC, BCA

CAB, CBA

Znači, možemo ih rasporediti na 6 načina.

Zadatak:

Na koliko načina 4 osobe može da sednu na 4 stolice?

Rešenje:

Označimo osobe sa a, b, c, d.

Sa slike se vidi da ih ima 24.

Permutacije

• Bilo koji raspored svih elemenata datog skupa

•  $P\left(n\right)=n!$   , n- broj elemenata

•  $n!=n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot...\cdot2\cdot1$  

• Primer:  $5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$  

• Primer:  $6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720$  

Zadatak:

Dat je skup E={1, 2, ... , 8}. Koliko permutacija, koje se mogu obrazovati od elemenata skupa E, počinje sa: 5, 123 i 8642? 

 $P\left(7\right)=7!=5040$  
 $P\left(5\right)=5!=120$  
 $P\left(4\right)=4!=24$  

Zadatak:

Koliko dvocifrenih brojeva se može napraviti od cifara 1, 3 i 5?

Rešenje:

13 15

31 35

51 53

Može se formirati 6 brojeva.

Varijacije

Imamo skup S={a1, a2, ... , an}, k∈N, 1≤k≤n Varijacija k-te klase bez ponavljanja u skupu S je svaka uređena k-torka (ai1, ai2, ... , ain) međusobno različitih elemenata skupa S. 

Broj varijacija bez ponavljanja od n elemenata k-te klase odreñujemo po formuli: 

 $V_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$  

Zadatak

• Odeljenje jednog razreda broji 35 učenika. Oni su međusobno razmenili fotografije. Koliko je ukupno podeljeno fotografija? 

•  $V_{35}^2=\frac{35!}{\left(35-2\right)!}=\frac{35!}{33!}=\frac{35\cdot34\cdot33!}{33!}=35\cdot34=1190$  

  
  

Zadatak:

Na šahovskom turniru učestvuje četiri igrača. Koliko je partija šaha odigrano, ako svako sa svakim igra?

Rešenje:

Obeležimo igrače sa a, b, c, d.

ab ac ad

bc bd

cd

Kombinacije

Kombinacija k-te klase bez ponavljanja skupa S={a1, a2, ... , an} je svaki njegov podskup od k elemenata, 1≤k≤n. 

Broj kombinacija bez ponavljanja od n elemenata k-te klase određujemo po formuli: 

 $C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$  

Zadatak:

Koliko se različitih grupa po 4 učenika može izabrati od 12 kvalifikovanih učenika koji će reprezentovati školu na takmičenju? 

 $C_{12}^4=\frac{12!}{4!\cdot\left(12-4\right)!}=\frac{12!}{4!\cdot8!}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8!}{4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot8!}=495$  

Multiple Choice

Na koliko načina mogu sesti četiri osobe na četiri stolice?

• $3!$

• $4^4$

• $4!$

• $2\cdot3!$

Multiple Choice

Na koliko načina se mogu rasporediti 5 knjiga na polici?

• 120

• 720

• 8!

• 6!

Multiple Choice

Koliko različitih trocifrenih brojeva može sastaviti tako da su cifre različite?

• $10\cdot9\cdot8$

• $9\cdot9\cdot8$

• $9!$

• $10^3$

Multiple Choice

U razredu ima 30 učenika. Svaki učenik se sa svakim rukuje. Koliki je broj rukovanja?

• $V_{30}^2=30\cdot29=870$

• $P\left(30\right)=30!$

• $C_{30}^2=\frac{30\cdot29}{2}=435$