Semana 05 - Combinação

Semana 05 - Combinação

Introdução, fórmula e exercícios

Combinação

 $C_{n,p}=\frac{n!}{\left(n-p\right)!\cdot p!}$  

Poll

Você conseguiu entender bem o conteúdo bimestral até qual parte?

• 0. Até o bom dia 😅

• 1. PFC (Princípio Fundamental da Contagem) 🙃

• 3. Permutação 🤔

• 4. Permutação com repetição 🧐

• 5. Arranjo 🤓

Combinação

• n objetos/pessoas

• grupos de p objetos/pessoas

• A ordem NÃO importa!

• "Escolha", "Grupos" e "Sorteios" são exemplos de questões que se resolvem com a operação combinação 😇

Exemplo: Em um grupo com 5 pessoas: Ana, Bruna, Carlos, Daniel, Eliane, quantas duplas diferentes é possível formar? 🤔🤔🤔🤔🤔

Se vc pensou "ah só forma duas duplas e sobra uma pessoa"...

Não tá errado, mas tbm não tá certo. A lista de todas as duplas possíveis é: 

Ana & Bruna |                             
Ana & Carlos | Bruna & Carlos | 
Ana & Daniel | Bruna & Daniel | Carlos & Daniel
Ana & Eliane. | Bruna & Eliane | Carlos & Eliane | Daniel & Eliane
Total: 10 duplas 

Mas como resolver usando contas?🤔🤔

Bom, pelo PFC, podemos dividir a solução em duas etapas: escolha da 1° pessoa da dupla; escolha da 2° pessoa da dupla. 

 $\overline{1°\ Pessoa}$   $\overline{2°\ Pessoa}$  

Para a primeira etapa, temos cinco pessoas disponíveis, para a segunda etapa, temos quatro pessoas disponíveis (Aqui não vale repetição)

 $\frac{5}{1°\ Pessoa}\cdot\frac{4}{2°\ Pessoa}=20$  

MAS....

Mas 20 não é a resposta correta!

Isso acontece porque o método das etapas considera a ORDEM das etapas na solução. A conta deu 20 porque contou cada dupla repetidas vezes! Sendo que Ana & Bruna é a mesma dupla que Bruna & Ana. Portanto, como a ordem das etapas não importa, corrigimos o resultado pelo FATORIAL da quantidade de etapas. Logo, temos $\frac{20}{2!}=\frac{20}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10.$  

Dessa vez usando a fórmula 😅

n: 5 pessoas
p: grupo de 2 pessoas
A ordem não importa!

 $C_{5,2}=\frac{5!}{\left(5-2\right)!\cdot2!}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=\frac{5\cdot4}{2}=10$  

Mas oq acontece se, em vez de escolhermos as duas pessoas que vão participar da dupla, escolhermos as três pessoas que vão ficar de fora?🧐🧐🧐

Nesse caso, teremos trios!

E a solução seria

 $\frac{5}{1°Pessoa}\ \frac{4}{2°Pessoa}\ \frac{3}{3°\ Pessoa}\Longrightarrow\ 5\cdot4\cdot3=60$  



MAS...

Mas 60 não é a resposta correta!

Mais uma vez, isso aconteceu porque o método das etapas considera a ORDEM delas na solução! Por isso temos que dividir o resultado pelo FATORIAL do número de etapas:

 $\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}=\frac{5\cdot4\cdot3}{6}=\frac{60}{6}=10$  

Usando a fórmula 😅

n: 5 pessoas
p: grupos de 3 pessoas
A ordem não importa!
 $C_{5,3}=\frac{5!}{\left(5-3\right)!\cdot3!}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=10$  
Ou seja, com 5 pessoas:
quantidade de duplas = quantidade de trios 
🥳🥳🥳🥳🥳

Exemplo: Sorteios

Em um sorteio, existem seis dezenas: 00, 01, 02, 03, 04, 05.

Vão selecionar três dezenas como resultado. Quantos resultados possíveis existem? 🍀🍀

Observe que o resultado 00, 04, 05 é o mesmo que 05, 00, 04. Ou seja, a ordem não importa!🍀🍀

Resolvendo pelo PFC

Temos que dividir a solução em três etapas, que são as escolhas de cada dezena sorteada.

 $\frac{6}{1°Dezena}\ \frac{5}{2°Dezena}\ \frac{4}{3°Dezena}=6\cdot5\cdot4=120$  


MAS...

Mas 120 não é a resposta correta!

Pq ainda falta dividir pelo fatorial de etapas!

 $\frac{6\cdot5\cdot4}{3!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=5\cdot4=20$  

Usando a fórmula...

 $C_{6,3}=\frac{6!}{\left(6-3\right)!\cdot3!}=\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{6\cdot5\cdot4}{6}=20$  

E como fica o sorteio da mega-sena?

🤔🤔🤔🤔🤔🤔

Na mega-sena são 60 dezenas e delas seis são sorteadas.

 $C_{60,6}=\frac{60!}{\left(60-6\right)!\cdot6!}=\frac{60!}{54!\cdot6!}=50\ 063\ 860$  
Mais de 50 milhões de sorteios possíveis 😳😳😵😵😬😬🤑

Agora algumas questões de fixação...

🍀🍀🤓🤓

Multiple Choice

Qual é a fórmula de Combinação?

• $C_{n,p}=\frac{n!}{\left(n-p\right)!\cdot p!}$

• $C_{n,p}=\frac{p!}{\left(n-p\right)!\cdot n!}$

• $C_{n,p}=\frac{n!}{n!\cdot p!}$

• $C_{n,p}=\frac{n!}{\left(n-p\right)!\cdot n!}$

Multiple Choice

Com 7 pessoas, quantos trios podemos formar?

• 2 e sobra 1 pessoa

• $\frac{7!}{3!}$

• $\frac{7!}{4!}$

• $\frac{7!}{4!\cdot3!}$

• $\frac{7!}{4!\cdot7!}$

Multiple Choice

De quantas maneiras podemos extrair cinco cartas de um baralho de 52 cartas?

• $\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$

• $\frac{52\cdot52\cdot52\cdot52\cdot52}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$

• $52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48$

Multiple Choice

Uma prova tem 10 questões do tipo teste, cada uma valendo 1 ponto se estiver certa ou 0 ponto se estiver errada (não há “meio certo” nas questões). De quantos modos é possível tirar nota 8 nessa prova?

•  $P_8^2$  
  

•  $C_{10,8}$  

•  $A_{10,8}$  

Poll

Oq achou da experiência da aula por slides no quizizz? 😇😇

• "Ainda é Matemática, não força a barra" 😒😒

• "Foi ótima!"🤓🤓

• "Achava melhor o plantão msm" 😵😵