Szacowanie pierwiastków

Szacowanie pierwiastków

z kluczem

Ile jest równy $\sqrt{2}$  ?

Co z pozostałymi pierwiastkami?
Spróbujmy znaleźć  $\sqrt{2}$  

Zastanówmy się pomiędzy jakimi liczbami znajduje się liczba  $\sqrt{2}$  

 $1<\sqrt{2}<2$  

bo  $1^2=1$  czyli mniej niż 2
bo  $2^2=4$  czyli więcej niż 2

 Nie znaleźliśmy $\sqrt{2}$ ,

ale wiemy,

że musi się mieścić między 1 a 2.

Poszukajmy więc liczby z jednym miejscem po przecinku, która po podniesieniu do kwadratu byłaby zbliżona do 2

• Obliczmy kolejne kwadraty liczb

•  $1,1^2=1,21$  - za mało

•  $1,2^2=1,44$  - za mało

•  $1,3^2=1,69$  - za mało

•  $1,4^2=1,96$  - troszkę za mało

•  $1,5^2=2,25$  - za dużo

Zatem

 $1,4<\sqrt{2}<1,5$  

• Można udowodnić, że próby przybliżenia wartości  $\sqrt{2}$   nigdy się nie skończą

• NIE OTRZYMAMY ułamka dziesiętnego, którego kwadrat będzie równy 2

• Nigdy też nie pojawi się okres, jak w przypadku ułamka  $\frac{1}{3}=0,333333...$  

• Można udowodnić, że  $\sqrt{2}$  nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego

Liczby całkowite, dodatnie i ujemne oraz dodatnie i ujemne liczby mieszane nazywamy

LICZBAMI WYMIERNYMI

Każdą liczbę wymierną można zapisać

w postaci UŁAMKA ZWYKŁEGO

lub

w postaci SKOŃCZONEGO lub OKRESOWAEGO ułamka dziesiętnego

•  $\frac{1}{2}=0,5$  

•  $\frac{3}{4}=0,75$  

•  $0=\frac{0}{1}$  

•  $-\frac{7}{9}=-0,7777777...$  

•  $0,017=\frac{17}{1000}$  

Liczby  $\sqrt{2}$  nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego, więc jest

LICZBĄ NIEWYMIERNĄ

Pierwiastka z  $2$ nie da się zapisać prościej niż $\sqrt{2}$  

W obliczeniach możemy używać przybliżeń

•  $\sqrt{2}\approx1,4$  

•  $\sqrt{2}\approx1,41$  

•  $\sqrt{2}\approx1,414$  

•  $\sqrt{2}\approx1,4142$  

• itd.

Wszystkie liczby, z których dotąd wyciągaliśmy pierwiastki, były tak dobrane, aby wynik był liczbą wymierną.

Jest jednak wiele liczb, których pierwiastki nie są wymierne.
Na przykład: 

 $\sqrt{3},\ \sqrt{5},\ \sqrt{6}$  
i wiele innych.

Multiple Select

Wśród liczb wskaż liczby niewymierne

• $\sqrt{9}$

• $\sqrt{12}$

• $\sqrt{40}$

• $\sqrt{49}$

• $\sqrt{55}$

Multiple Select

Wśród liczb wskaż liczby wymierne

• $\sqrt{36}$

• $\sqrt{81}$

• $\sqrt{90}$

• $\sqrt{169}$

• $\sqrt{444}$

Znajdź przybliżenie liczby  $10\sqrt{3}-5$  

• Przyjmij, że  $\sqrt{3}\approx1,73$  

•  $10\sqrt{3}-5\approx10\cdot1,73-5=17,3-5=12,3$