Intervalos de Confianza -IC- con t de Student para n<30

Intervalos de Confianza -IC- con t de Student para muestras < 30

Estadística Inferencial (11001) por Francisco Figueroa

William Sealy Gosset (1876 - 1937)

Estadístico inglés, mejor conocido por su sobrenombre literario "Student". Trabajó en la cervecería Guiness en Irlanda. Los propietarios no querían que los trabajadores publicaran investigaciones realizadas en la empresa. Por eso, publicó sus resultados con el sobrenombre "Student".

Nueva distribución de probabilidades

Gosset conocía las limitaciones de una muestra grande (n  $\ge$  30 datos) por los recursos tiempo y dinero que tomaban. De esta forma Gosset creó una nueva distribución para muestras pequeñas (menores a 30 datos: 29, 28, 27, ... )

La ecuación t de Student

Es igual a la usada para la distribución normal o distribución muestral de medias para muestras grandes.

Usa la desviación estándar de la muestra (s), en lugar de una desviación estándar poblacional desconocida.

La ecuación t de Student sustituye algunos datos de la distribución Z normal

En la imagen observamos la ecuación de la distribución Z Normal. Aparece el promedio muestral (X), el promedio poblacional (μ) y la desviación estándar poblacional (σ). Esta última es sustituida por s.

Características de la distribución t de Student

• Es simétrica con promedio cero.

• Forma de campana.

• Varía de -  $\infty$  a +  $\infty$  

• Es una familia de distribuciones t, de acuerdo al tamaño de la muestra.

• Cuando n aumenta, t tiende a ser Z.

Ejemplo de Intervalos de Confianza -IC- con t de Student (caso de óptica por el Índice de Refracción de un Prisma

Para aprender un poco de óptica y de estadística se realizará un ejemplo con el índice de refracción de un prisma para un color específico.

El prisma y la óptica

Isaac Newton demostró con el prisma, que la luz blanca es una mezcla de varios colores. La refracción depende del color.

Cada color tiene una longitud de onda medida en nanómetros que son los números que aparecen al lado izquierdo.

Por ejemplo, la luz naranja tiene una longitud de onda de 630 nanómetros (1 nm = 10^-9 metros).

Refractómetro Abbe

El refractómetro Abbe es un dispositivo que usa las leyes de la óptica para determinar el índice de refracción. La luz puede ser difractada, reflejada o absorbida al pasar de un medio a otro. Este refractómetro Abbe usa el principio de reflexión. La reflexión tiene lugar en la capa límite entre el prisma y la muestra.

Geometría del Prisma

Un prisma con ángulo α hecho de vidrio tiene un índice de refracción "n".

Un rayo de luz de color rojo incide sobre la cara izquierda del prisma. El ángulo que forma el rayo incidente con la normal es θ_i1. Aplicamos la ley de Snell para trazar el rayo refractado.

Ángulo de Desviación Mínima

El ángulo que forma la prolongación del rayo incidente con el rayo que sale del prisma se denomina ángulo de desviación.

Midiendo el ángulo de desviación mínima δ_m obtenemos el índice de refracción de la sustancia transparente. 

Índice de Refracción

El índice de refracción n no es constante, sino que depende de la longitud de onda o de la frecuencia de la luz con la que se ilumina el prisma.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ondas/reflex_trans/prisma/prisma.html

Ejemplo

Un prisma de cuarzo-β es analizado con un refractómetro. Produce un color que tiene variaciones numéricas en sus frecuencias o longitudes de onda. Para no proveer un solo dato o una sola estimación puntual de esta longitud de onda, se desea estimar un Intervalo de Confianza (IC) del índice de refracción de este cristal.

Por ser costosos los análisis, solamente se tienen una muestra (n) de 13 datos de longitudes de onda medidas en nanómetros (nm):

507 555 560 507 506 519 507 505 490 549 533 485 482

Estime un intervalo de confianza al 99% de la longitud de onda de esta luz.

Paso 1

Determinar con qué distribución se estimará el Intervalo de Confianza (IC) para los 13 datos:

con Z normal

con t de Student.

Multiple Choice

¿Cuál es el tipo de distribución que se deberá usar para el caso anterior?

• distribución Z normal

• distribución t de Student

• distribución chi-cuadrado

Paso 1

La distribución a usarse es la distribución t de Student por tener una muestra (n) con solamente 13 datos.

A partir de 30 datos en adelante, se debe usar una distribución Z normal.

Paso 2

Determinar si la población es finita o infinita.

Si el problema proporciona el dato de la población total N, se debe calcular lo siguiente:
+ Si n/N  $\ge$  0.05, entonces es finita.

+ Si n/N < 0.05, la población es infinita.

+ Si no proveen información de N, es seguro que la población es infinita.

Multiple Choice

¿Qué tipo de población tiene el problema de las longitudes de onda en el cuarzo- $\beta$  ?

• finita

• infinita

Paso 3

Determinar los datos que tenemos para la ecuación t de Student.

X (promedio muestral); por calcular.

confianza (1 - α) : 99% = 0.99

significancia (α) = 1 - 0.99 = 0.01

s (desviación estándar muestral): por calcular.

n = 13 datos.

Paso 3

Enlistar los datos que tenemos para la ecuación t de Student.

X (promedio muestral); 515.77 nm.

confianza (1 - α) : 99% = 0.99

significancia (α) = 1 - 0.99 = 0.01

s (desviación estándar muestral): 25.98 nm.

n = 13 datos.

grados de libertad (n-1) = 13-1 = 12 gl

Paso 4

Calcular el valor de t en la tabla t de Student.

Para ello tenemos los siguientes datos:

Confianza (1 - α) = 0.99

Significancia o tolerancia (α) = 0.01

α/2 = 0.01 / 2 = 0.005

grados de libertad (n-1) = 13 - 1 = 12

Con 12 grados de libertad (13-1) y α/2 = 0.005, el valor t es 3.055

Con 12 grados de libertad (13-1) y α/2 = 0.005, el valor t de Student es 3.055

Paso 5

Sustituir valores en la fórmula de t de Student

Multiple Choice

¿Cuál es el intervalo MAYOR del promedio de longitud de onda en nanómetros para el cuarzo -  $\beta$  ?

• 537.78 nm

• 508.43 nm

• 493.76 nm

• 488.67 nm

Multiple Choice

¿Cuál es el intervalo menor del promedio de longitud de onda en nanómetros para el cuarzo -  $\beta$  ?

• 537.78 nm

• 508.43 nm

• 493.76 nm

• 488.67 nm

RESPUESTA

Se estima con un 99% de confianza, que el promedio poblacional de las longitudes de onda para el cuarzo - β se encuentra entre 537.78 nanómetros y 493.76 nanómetros.

Tenemos 99% de seguridad que la muestra seleccionada contiene a la media aritmética de la población (μ), dentro de su intervalo.

Si se realiza el experimento 100 veces, tomando siempre 13 muestras, 99 veces de 100 veces, contendrán la verdadera media aritmética de la población.