Funções exponenciais e logarítmicas

Funções exponenciais e logarítmicas

Estudo de funções

O limite notável  $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{e^x-1}{x}=1\$  

Seja  $f\left(x\right)=e^x$  que é uma função que tem as seguintes própriedades:

- contínua
- crescente
- injetiva
-  $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ e^x=+\infty$  
-  $\lim_{x\rightarrow-\infty}\ e^x=0$  tem as seguintes propriedade

Demonstração de   $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{e^x-1}{x}=1\$  

sabemos que
 $f'\left(0\right)\ =\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\ \frac{e^h-e^0}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{e^h-1}{h}$ 

este limite da origem à indeterminação  $\frac{0}{0}$  
Para levantar esta indeterminação, vamos relacioná-la com a interpretação geométrica do conceito de derivada. 

Demonstração de  $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{e^x-1}{x}=1\ \$ (cont.)

A derivada de uma função num ponto corresponde ao declive da reta tangente ao gráfico no ponto.

Neste caso, temos que o declive da reta tangente à exponencial no ponto  $x=0\$  é paralela à bissetriz dos quadrantes impares, ou seja à reta  $y=x\$  que tem declive  $1$  pelo que   $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{e^x-1}{x}=1\$  

Exercicios

Responde às seguintes questões:

Multiple Choice

 $\lim_{x\rightarrow3}\ \frac{e^{x-3}-1}{x-3}$  é igual a

•  $-3$  

•  $1$  

•  $3$  

•  $-1$  

Multiple Choice

 $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{e^{3x}-1}{4x}\$  é igual a

•  $1$  

•  $\frac{1}{4}$  

•  $\frac{1}{12}$  

•  $\frac{3}{4}$  

Multiple Choice

 $\lim_{x\rightarrow-3}\ \frac{x^2-9}{1-e^{x+3}}$  é igual a

•  $0$  

•  $1$  

•  $6$  

•  $9$  

Multiple Choice

O valor de $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{e^x-e^{-x}}{x}$  é igual a:

•  $1$  

•  $2$  

•  $3$  

•  $4$  

Derivada da função  $f\left(x\right)=e^x\$  

• Consideremos a função  $f\left(x\right)=e^x\$  cujo domínio é  $IR$  

• Para  $x\in IR$  temos:   $f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{x}=\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=$   $=\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{e^x\left(e^h-1\right)}{h}=e^x\times\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{e^h-1}{h}=e^x\times1=e^x$  atendendo ao resultado do limite  $\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{e^x-1}{x}=1$  (limite notável)

Multiple Select

A derivada de  $f\left(x\right)=e^{3x}-4$  é

•  $e^{3x}$  

•  $3e^{3x}$  

•  $e^{3x}-4$  

Multiple Select

A derivada de $f\left(x\right)=e^{2x-x^2}-2x^3$  é igual a

•  $\left(2-2x\right)e^{2x-x^2}-6x$  

•  $2\left[\left(1-x\right)e^{2x-x^2}-3x\right]$  

•  $\left(2x-x^2\right)e^{2x-x^2}-3x^2$  

•  $e^{2x-x^2}-6x^2$  

Aplicações das derivadas

As derivadas das funções tem várias aplicações:

- escrever a equação da reta tangente ao gráfico num ponto

- resolver problemas de otimização

Aplicação das derivadas 1

EXEMPLO:
Seja  $f\left(x\right)=e^{2x}-e^x+3\ \$ .

Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de  $f$  de declive 1.

Resolução do exemplo:

(Veja os dois slides seguintes que apresenta a resolução que foi extraído de um PowerPoint extraídos do site da Leya - Aula Digital)

Resolução do exemplo

Continuação da resolução do exemplo

Open Ended

EXERCÍCIO:
Considere a função real de variável real cujo domínio é  $IR$  definida por:
 $f\left(x\right)=e^{2x}-4e^x+3$  

a) determine a expressão da derivada de  $f$  .

b) determine a equação da reta tangente ao gráfico de  $f$   no ponto de abcissa  $2$  .

c) determine a equação reduzida da reta tamgente ao gráfico de declive 1

Problema de otimização

Uma chávena com água acabada de ferver (que se admite estar à temperatura de 100ºC) é deixada a arrefecer numa sala que está a uma temperatura constante de 25ºC. Sabendo que a taxa de variação da temperatura em cada instante é diretamente proporcional à diferença entre a temperatura ambiente e a temperatura da água, nesse instante, e sabendo que ao fim de 2 minutos a temperatura da água atinge 80ºC, determina ao fim de quanto tempo a temperatura da água atingirá 50ºC. Apresenta o resultado em minutos, arredondado às unidades.

(Caderno de apoio às Metas Curriculares - 12º ano)

Resolução do problema de otimização

(Veja os slides seguintes que apresenta a resolução que foi extraído de um PowerPoint extraídos do site da Leya - Aula Digital)

Open Ended

Resolva o seguinte problema de otimização:

A população da Nova Zelândia era de  $1,218×10^6$   habitantes em 1921 e  $1,344×10^6$   habitantes em 1926.
Supondo que a evolução da população deste país obedecia a uma lei Malthusiana (taxa constante de crescimento populacional por habitante), determina a população P(t), para qualquer instante t.
Sabendo que os valores reais eram, em milhões de habitantes, respetivamente, 1,491 em 1935, 1,648 em 1945, 1,923 em 1953 e 3,14 em 1977, discute a adequação do modelo adotado à realidade, no período de tempo considerado, calculando as percentagens de erro do modelo relativamente aos dados reais.