Jueves 22 abril, variables separables.

Variables Separables.

Un ejemplo

 $\left(x^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}\right)dx=xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  

• ¿Cuál es la  $M$  ?

• ¿Cuál es la  $N$  ?

• ¿Cuál es el cambio de variable?

• Sustituyendo en el lado izquierdo.

• Sustituyendo en el lado derecho.

• Simplificando.

Multiple Choice

Determina  $N$ de

 $\left(x^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}\right)dx=xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  

•  $-xy\sqrt{x^2-y^2}$  

•  $xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  

•  $-xy\sqrt{x^2+y^2}$  

•  $-xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  

Multiple Select

 $M=x^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}$ 

 $N=-xy\sqrt{x^2+y^2}$ 

¿Cuál es el cambio de variable?

•  $y=xu$  

•  $x=yu$  

Multiple Choice

Sustituyendo  $y=xu$   en lado izquierdo
 $\left(x^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}\right)dx=\cdots\ \cdots$ 

•  $\left(x^3+x^2u^2\sqrt{x^2+x^2u^2}\right)dx$  

•  $\left(x^3+x^2u^2\sqrt{x^2+x^2u^2}\right)\left(xdu+udx\right)$  

•  $\left(y^3u^3+y^2\sqrt{y^2+u^2y^2}\right)dx$  
  

Lado izquierdo: $\left(x^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}\right)dx=\cdots\ \cdots$ 

• El cambio fue  $y=xu$  

• Sustituyendo en la izquierda:

•  $\left(x^3+x^2u^2\sqrt{x^2+x^2u}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

• Simplificando:

 $\left(x^3+x^2u^2\sqrt{x^2+x^2u^2}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

•  $\left(x^3+x^2u^2\sqrt{x^2\left(1+u^2\right)}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

•  $\left(x^3+x^2u^2x\sqrt{1+u^2}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

•  $\left(x^3+x^3u^2\sqrt{1+u^2}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

•  $x^3dx\ +\ x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx=\cdots\ \cdots$  

 $\left(x^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}\right)dx=xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  

• Con el cambio  $y=xu$  

• El lado izquierdo ya quedó:

•  $x^3dx+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx=xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  

• Vamos a sustituir en la derecha.

Multiple Choice

Sustituyendo  $y=xu$  en 

 $\cdots\ \cdots=xy\sqrt{x^2+y^2}dy$ 

•  $x\left(xu\right)\sqrt{x^2+x^2u^2}dy$  

•  $x^2u^2\sqrt{x+xu}\left(xdu+udx\right)$  

•  $x\left(xu\right)\sqrt{x^2+x^2u^2}\left(xdu+udx\right)$  

Simplificando $xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  con  $y=xu$  

•  $x\left(xu\right)\sqrt{x^2+x^2u^2}\left(xdu+udx\right)$  

•  $x^2u\sqrt{x^2\left(1+u^2\right)}\left(xdu+udx\right)$  

•  $x^2ux\sqrt{1+u^2}\left(xdu+udx\right)$  

•  $x^3u\sqrt{1+u^2}\left(xdu+udx\right)$  

•  $x^4u\sqrt{1+u^2}du+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx$  

Todo empezó con  $\left(x^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}\right)dx=xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  

• Izquierda:  $x^3dx+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx$  

• Derecha:  $x^4u\sqrt{1+u^2}du+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx$  

• ¿Podemos simplificar?

Multiple Choice

Simplificar: $x^3dx+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx=x^4u\sqrt{1+u^2}du+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx$  

•  $x^3dx=x^4u\sqrt{1+u^2}du$  

•  $x^3dx+x^4u\sqrt{1+u^2}du=0$  

•  $x^3dx=-x^4u\sqrt{1+u^2}du$  

Multiple Choice

¿Qué sigue después de  $x^3dx=x^4u\sqrt{1+u^2}du$ ? 

•  $\int\frac{x^4}{x^3}dx=\int u\sqrt{1+u^2}du$ 

•  $\int xdx=\int u\sqrt{1+u^2}du$  

•  $\int\frac{1}{x}dx=\int u\sqrt{1+u^2}du$  

Ya para terminar $\int\frac{1}{x}dx=\int u\sqrt{1+u^2}du$  

•  $\ln x+\ln c=\frac{\left(1+u^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$  

•  $3\ln\left(xc\right)=\left(1+u^2\right)^{\frac{3}{2}}$  

•  $3\ln\left(xc\right)=\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}$