Sucesiones

Sucesiones

Cálculo Diferencial

Jeny Paola Niño Garzón

Mg. En Educación

Colegio Brasiia Bosa IED

2021

Sucesión

Una sucesión es un conjunto de elementos, comúnmente números, dispuestos uno a continuación de otro. Definidas del conjunto de los naturales (N) en los reales (R).

Términos de una sucesión

A cada elemento dentro de la sucesión se le conoce como término de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.Así, en general,  a_n denota al n-ésimo término de la sucesión {a_n} . Por ejemplo, el décimo término de la sucesión  {a_n} es a₁₀ .

Ejemplos

En la sucesión: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6,… tenemos que: a₅ = 5, ya que es el término de la sucesión que ocupa el quinto lugar. 

En la sucesión: b) 2, 4, 6, 8 , 10,… el tercer término se denotaría b₃ y correspondería al valor 6. 

Cálculo de términos de una sucesión 

Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión  {an} = {3n + 1}.

La sucesión está dada por el término general f(n) = 3n + 1, donde n  $\in$  N.

Para encontrar los términos de la sucesión, sustituimos los valores de n.

f(1) = 3(1) + 1 = 4
f(2) = 3(2) + 1 = 7
f(3) = 3(3) + 1 = 10
. . .

Término general de una sucesión

• Representa un término cualquiera de la sucesión Representa un término cualquiera de la sucesión.

• En las sucesiones que siguen una ley de formación, la fórmula del término general, fórmula del término general, a_n, permite determinar cualquier término de la sucesión.

Ejemplos

• En la sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, … El término general es: El término general es: a_n = 2 n 

• En la sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, … El término general es: El término general es: a_n = n²

• En la sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, … El término general es: El término general es: a_n = 2 n - 1

Progresiones aritméticas

Son sucesiones en las que cada término se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante llamada, d, diferencia.

Cuál es la sucesión si el primer término, a₁ = 3 y la diferencia, d = 2:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …

Cuál es la diferencia de la siguiente progresión aritmética:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, … d = 4

En una progresión aritmética la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante.

Progresiones geométricas

Son sucesiones el las que cada término se obtiene a partir del anterior multiplicándolo por una cantidad constante llamada, r, razón.

Cuál es la sucesión si el primer término, a₁ = 3 y la razón, r = 2:

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …

Cuál es la razón de la siguiente progresión geométrica:

2, 6, 18, 54, 162, 486, … r = 3

En una progresión geométrica el cociente entre dos términos consecutivos es una constante.

Sucesión creciente y decreciente

• Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el anterior:

  
  

  a_n+1 > a_n Esto ocurre cuando la diferencia es positiva: d > 0.

  
  

• Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior:

  
  

  a_n+1 < a_n Esto ocurre cuando la diferencia es negativa: d < 0.

  
  

• Nota: si la diferencia es d = 0, la sucesión es constante (todos los términos son iguales).

Recomendaciones para calcular el término general

• Comprobar si es una progresión aritmética.

• Comprobar si es una progresión geométrica.

• Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

. . .

• Si los términos de la sucesión cambian de signo de forma alternada. En estos casos suele haber un término (-1)ⁿ (pares positivos) o  (-1)^n-1 (impares positivos) multiplicando los términos, haciendo que estos alternen.

•  Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión), entonces se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

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Referencias bibliográficas

• https://www.youtube.com/watch?v=QHriWBCSrFY

• https://www.matesfacil.com/ESO/progresiones/sucesion-aritmetica-formulas-ejemplos-problemas-resueltos.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sucesiones/sucesiones-y-progresiones.html

• https://bioprofe.com/sucesiones/

• http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/actics/docs/PowerPoint%20Sucesiones.pdf