Probabilités

Probabilités

Etude des évènements aléatoires

Quelques Définitions

• Expérience aléatoire: Une phénomène dont on ne peut pas prévoir l'issue ou le résultat de manière certaine

• Les résultats possibles d'une expérience aléatoire sont appelées éventualités

• Lorsque on regroupe plusieurs éventualités, on parle d'un événement. Un événement est réalisé lorsque l'une des éventualités qui le composent est réalisée

• Une éventualité est aussi appelée événement élémentaire.

Avec un exemple

• Lancer un dé de 6 faces et regarder le résultat = Expérience aléatoire

• 1,2,3,4,5,6 = éventualités (résultats possibles de l'expérience)

• Le résultat est un nombre pair = événement (regroupe les éventualités 2,4,6 et se réalise lorsque l'un de ses résultats à lieu)

• 1,2,3,4,5,6 sont des évènements élèmentaires (composés d'une seule éventualité)

Multiple Select

Exemple: Choisir dans la liste les items qui correspondent à des experiences aléatoires

• Faire un calcul et étudier le résultat

• Lancer un pièce de monnaie et regarder la face sur laquelle elle atterrit

• Piocher une carte au hasard dans une jeu de poker

• Etudier la possibilité d'un accident d'avion

• Le résultat d'un match de football

Explication

Le seul item qui n'est pas un évènement aléatoire est le calcul. En effet, on ne peût pas prédire avec certitude les résultats des autres expériences

Multiple Select

Nous réalisons l'experience suivante:

On lance un dé a 20 faces et on regarde le résultat

Choisir dans la liste les items qui correspondent a des éventualités de cette experience

• Le résultat est 19

• Le résultat est un multiple de 3

• le résultat est 1

• le résultat et 18 ou 20

• le résultat est supérieur à 10

Explication

Les éventualités correspondent à un et un seul résultat possible de mon expérience aléatoire: Dans ce cas, le résultat est 1 et le résultat est 19 correspondent tous deux à un résultat possible du lancer de dé.

Les autres sont de évènements car ils regroupent plusieurs éventualités (multiple de 3 regroupe tous les résultats qui sont multiples de 3 / 18 ou 20 regroupe 18 et 20 / supérieur à 10 regroupe tous les résultats entre 10 et 20)

Multiple Select

Nous réalisons l'expérience aléatoire suivante:

On pioche une carte au hasard dans un jeu de poker et on regarde la carte obtenue

Choisir dans la liste les items qui correspondent à de évènements

• Je pioche le roi de trèfle

• Je pioche un As

• Je pioche le 4 de diamants

• Je pioche un cœur

• Je pioche une tête

Explication

Les évènements sont des regroupements d'éventualités:

-Piocher un as regroupe les 4 As possibles

-Piocher un coeur regroupe toutes les cartes de coeur possible

-Piocher une tête regroupe les rois, reines et valets des quatre couleurs

Les deux éventualités correspondent a des cartes spécifiques

Notion d'évènement contraire

Souvent on note un évènement avec un nom de variable
-On appelle "A" l'évenement obtenir un roi lorsqu'on pioche une carte

L'évenement contraire est le regroupement de toutes les éventualités qui ne sont pas dans l'évenement A

-Le contraire de "A" noté  $\overline{A}$  serait "Je pioche une carte qui n'est pas un roi"

Notion de Probabilité

Lorsque on répète une experience aléatoire un très grand nombre de fois, et on comptabilise la réalisation d'un évènement par rapport à la quantité d'experiences réalisées, on observe que le résultat converge vers une fraction qui s'appelle la probabilité de l'évènement

Exemple

-Je lance une pièce de monnaie un grand nombre de fois et je compte le nombre de fois que j'obtiens une face ainsi que le nombre de lancers

-Lorsque j'étudie la fraction quantité de faces obtenues / quantité de lancers realisées, on remarquera que le résultat va se rapprocher de 0.5 (1/2)

-Si on continue a lancer la pièce une infinité de fois le résultat va se rapprocher de plus en plus de 1/2 (ce qui est cohérent)

Notation formelle

• Si on appelle "A" un évènement d'une expérience aléatoire

• On note P(A) la probabilité associée a cet évènement

Pour les exercices

En general les probabilités que vous étudierez en cours sont soit très faciles a déduire intuitivement soit vous seront données par l'exercice

Explication

 Le 3 est une des six faces du dé. Si le dé est bien équilibré alors j'ai la même possibilité de tomber sur n'importe laquelle des 6 faces. La probabilité serait alors de  $\frac{1}{6}$ 

Explication

En supposant que j'ai la même possibilité de sortir n'importe quelle carte au hasard. Il y à 4 cartes roi dans le jeu de 52 cartes.
J'ai donc 4 chances sur 52 de sortir un roi

 $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$  

Explication

Il y à 6 boules au total dans l'urne, dont 2 qui sont bleues.
J'ai donc 2 chances sur 6
La probabilité est donc  $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$  

Propriétés des probabilités

• La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des éventualités qui le composent

• On appelle évènement certain un évènement avec une probabilité de 1 (100%) et sui se produit toujours

• On appelle évènement impossible un évènement avec une probabilité de 0 (0%) et qui ne se produit jamais

• La probabilité d'un évènement est toujours comprise entre 0 et 1

• La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1

Equiprobabilité

• On parle d'équiprobabilité lorsque toutes les éventualités d'une experience aléatoire ont la même probabilité de se produire

• Dans ce cas la probabilité d'une éventualité est de 1 sur la quantité totale d'éventualités 

• L'équiprobabilité represente la majorité des cas que vous allez rencontrer dans les exercices ainsi que les situations ou vous arrivez a intuitivement déduire les probabilités (dés, cartes etc...)

Exemple: Pour un dé a 6 faces

• 6 éventualités possibles 1,2,3,4,5,6

• La probabilité de chaque éventualité est de 1/6