Programación Lineal

Programación Lineal

Objetivo: Entender y conocer la idea de programación lineal y sus posibilidades de aplicación a problemas prácticos.

Razonemos

• Tenemos que optimizar:

• Si nosotros tuvieramos un negocio en el que comercializamos productos A y B; y para generar más ganancias debemos saber qué cantidad de productos A y productos B debemos comprar para al mismo tiempo gastar menos y obtener una mayor ganancia. Cómo elegimos dicha cantidad?

Definición de programación lineal

Se llama programación lineal, o también programa lineal, a la formulación algebraica que pretende optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, también lineales.

Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar una función lineal, denominada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones expresadas mediente inecuaciones lineales.

Terminología

Terminología

3.- Región Factible: Región formada por el conjunto de puntos (x;y) que son posibles soluciones al programa lineal. Suele ser un polígono cerrado entre las restricciones.

4.- Solución Óptima: Es el punto (x;y) de la región factible que optimiza la función objetivo; es decir la maximiza o minimiza según nos pida el problema y se encuentra siempre en la frontera de la región factible.

Tipos de soluciones en Programación Lineal

1.- Solución Única: Cuando presentan un único punto óptimo donde se intersecan sus restricciones con la función objetivo.

Tipos de Soluciones en Programación Lineal

2.- Solución Múltiple: Si presentan más de una solución óptima. En estos casos, las soluciones suelen ser todos los puntos de un segmento; es decir, los puntos comprendidos entre dos vértices de la región factible. Este tipo de solución se da cuando la función objetivo se superpone a una de las rectas de las restricciones.

Tipos de Soluciones en Programación Lineal

3.- Factible no acotada: Cuando no existe límite para la función objetivo, es decir, la función objetivo puede hacerse tan grande como se desee en la región factible; también se llama infinitas soluciones y se da porque la región factible no es un polígono cerrado.

Tipos de Soluciones en Programación Lineal

4- No Factible: Si no existe el conjunto de soluciones; es decir no tiene solución. En estas situaciones, las desigualdades que describen las restricciones son inconsistentes, o dicho en otras palabras se contradicen entre sí.

Métodos de resolución:

A. Método Algebraico.- Siguiendo los siguientes pasos:

1.- Resolver el sistema de inecuaciones formado por las restricciones para hallar la región factible.

2.- Obtener los vértices de la región factible.

3.- Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para determinar en cuál de ellos toma el valor máximo o mínimo.

B. Método Gráfico.- Siguiendo los siguiente pasos:

1.-Resolver el sistema de inecuaciones formado por las restricciones y representar gráficamente la región factible.

2.-Representar e igualar la función objetivo a 0 y graficar esa recta.

3.- Trazar rectas paralelas a la recta de la función objetivo igualada a 0, que pasen por cada uno de los vértices de la región factible.

Multiple Choice

Se llama programación lineal a la formulación algebraica que pretende optimizar una función cuadrática de varias variables, sujeta a una serie de restricciones lineales.

• Verdadero

• Falso

Multiple Choice

Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar una función lineal, denominada función objetivo.

• Verdadero

• Falso

Multiple Choice

Un ejemplo de función objetivo puede ser:

• $$f\left(x;y\right)=3x-2y$$

• $$f\left(x;y\right)=x^2-2x+3$$

Multiple Choice

Un ejemplo de restricciones para un problema de programación lineal es:

• $$x=3,\ y=2,\ 2x+3y=1$$

• $$x>3,\ y>2,\ 2x-2y>4$$

Multiple Choice

La gráfica representa un solución de tipo:

• No factible

• Factible no Acotada

• Múltiples Soluciones

• Solución única

Multiple Choice

Cuando la función objetivo interseca en un solo punto a las restricciones el programa lineal tiene:

• Solución Única

• Múltiples Soluciones

• Factible No Acotada

• No Factible

Multiple Choice

Cuando la región factible no es un polígono cerrado la solución del programa lineal es:

• Solución Única

• Múltiples soluciones

• Factible No Acotada

• No factible

Multiple Choice

Cuando la función objetivo se superpone a una de las rectas de las restricciones tenemos:

• Solución Única

• Múltiples Soluciones

• Factible No Acotada

• No Factible