Divizori. Multipli

Divizor. Multiplu. Divizori comuni. Multipli comuni

Noțiuni teoretice. Exemple. Aplicații

Un număr natural a este DIVIZIBIL ( se divide) cu un număr natural b dacă există un număr natural c, astfel încât a=bxc.
        Notăm "b I a"  și citim "b divide a" sau "a  se divide cu b".

        Dacă  b I a spunem că a este MULTIPLU al lui b sau b este DIVIZOR al lui a
EX:    Deoarece 6=2x3 spunem că 2 divide 6 și 3 divide 6 . Scriem 2 I 6 respectiv ,3 I 6 .De asemenea, 2 și 3 sunt divizori ai lui 6, iar 6 este un multplu al lui 2 respectiv , al lui 3.
OBSERVAȚIE : Dacă b diferit de zero, atunci  b I a dacă și numai dacă restul împărțirii  lui a la b este zero. 
 EX:     68 este divizibil cu 4 , deoarece 68:4= 17, restul fiind 0
           59 nu este divizibil cu 7, deoarece 59:7=8, rest 3 (59 nu se imparte exact la 7)

Dacă a este un număr natural , notăm cu D_a toți divizorii lui a respectiv, cu M_a toți multiplii lui a.

EXEMPLU

D₁₂ , divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 ,12

M_12, multiplii lui 12 sunt 0, 12, 24, 36, 48, ......, deci sunt de forma 12n unde n este număr natural

DEFINIȚIE: 1 și a se numesc DIVIZORI IMPROPRII, pentru orice număr natural a.

Orice alt divizor se numește DIVIZOR PROPRIU al lui a.

EXEMPLU : 1 și 12 sunt divizori improprii ai lui 12, iar 2, 3, 4, 6 sunt divizori proprii .

DEFINITIE: Un număr natural d este divizor comun a două sau mai multe numere naturale a₁ , a₂ , ..., a_n dacă d divide fiecare dintre numerele a_{1 ,} a₂ ,..., a_n.

EXEMPLU D₄₈ : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 , iar D₃₆ : 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36

Divizorii comuni sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 12, iar cel mai mare divizor comun este 12.

DEFINIȚIE: Numărul natural m este un multiplu comun a două sau mai multe numere naturale a_{1 ,} a₂, ..., a_n dacă m este divizibil cu fiecare dintre numerele a₁ ,a_{2 ,} ..., a_n.

EXEMPLU: 48 este un multiplu comun al numerelor 4, 6, 8 deoarece 48:6=8 , 48:8=6, 48: 4=12, dar cel mai mic multiplu comun al lor este 24.

Aplicații 1

1 . Determinați numerele naturale x, pentru care (x+1) I 12.

Dacă (x+1) I 12 , atunci (x+1) face parte din D₁₂ , adică poate fi 1 , 2, 3, 4, 6 sau 12. Avem astfel că x poate fi 0, 1, 2, 3, 5, 11.

2. Aflați cel mai mare număr de trei cifre divizibil cu 7.

Cel mai mare număr de trei cifre este 999. Dar, împărțind pe 999 la 7 obținem 142 rest 5, ceea ce înseamnă că 999 nu este divizibil cu 7 restul fiind nenul. Teorema împărțirii cu rest ne permite scrierea 999=7x142+5 , de unde 999-5=7x142, adică 7x142=994. Astfel, cel mai mare număr de trei cifre divizibil cu 7 este 994.

Aplicații 2

3. Determinați toate numerele naturale m pentru care m+1 este multiplu de 11 și 32<m+1<105.

Dacă 32<m+1<105 , atunci 31<m<104. Cum m este multiplu al lui 11, el face parte din M₁₁ , deci poate fi 0, 11, 22, 33, 44,... adică un număr de forma 11xk, k număr natural. Astfel, m poate fi 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

4.Două proiectoare de scenă pornesc în același timp . Unul clipește o dată la 5 secunde, iar celălalt o dată la 7 secunde. De câte ori vor clipi simultan cele două proiectoare în 10 min?

Proiectoarele clipesc simultan o dată la 35 sec, 35 fiind cel mai mic multiplu comun al nr 5 și 7. Cum 10 min=600 sec și 600:35=17 rest 5, proiectoarele vor clipi simultan de 17 ori.