CHỦ ĐỀ 1. LUYỆN TẬP

CHỦ ĐỀ 1. LUYỆN TẬP

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1.

Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: $x\left(x^2-2\right)-\left(x^2-3\right)\left(x+1\right)+x\left(x-1\right).$  

Phương pháp:

Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến: Áp dụng quy tắc nhân rút gọn biểu thức và kết luận.

Hướng dẫn

 $x\left(x^2-2\right)-\left(x^2-3\right)\left(x+1\right)+x\left(x-1\right)$ 

= $x^3-2x-\left(x^3+x^2-3x-3\right)+x^2-x$  

= $x^3-2x-x^3-x^2+3x+3+x^2-x$  

= 3
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Ví dụ 2.

Chứng minh đẳng thức:

 $a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)-c\left(a-2b\right)=bc.$  

Phương pháp:

Chứng minh đẳng thức: Áp dụng quy tắc nhân và quy tắc dấu ngoặc biến đổi VT = VP và kết luận.

Hướng dẫn:

 $VT=a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)-c\left(a-2b\right)$  
 $\ \ \ \ \ \ \ =ab+ac-ab-bc-ac+2bc$  
 $\ \ \ \ \ \ \ =bc=VP$  
Vậy  $a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)-c\left(a-2b\right)=bc.$  

Ví dụ 3.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$  thì  $n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$  chia hết cho 6.

Phương pháp:

Áp dụng dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết của một tổng để chứng minh và kết luận.

Hướng dẫn:

      $n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$  
 $=n\left(n+1\right)\left(n-1+n+2\right)$  
 $=n\left(n+1\right)\left[\left(n-1\right)+\left(n+2\right)\right]$  
  $=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)$  
 $=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)$  
Vì  $\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$  là tích 3 số nguyên liên tiếp nên ít nhất có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3.

 $\Longrightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$  chia hết cho 6.

Tương tự:

 $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)$  chia hết cho 6
 $\Longrightarrow n\left(n+1\right)\left(n-1\right)+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)$  chia hết cho 6.
Vậy  $n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$  chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Bài tập 1a.

Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 $x\left(2x+1\right)-x^2\left(x+2\right)+\left(x^3-x+3\right).$  

Hướng dẫn:

      $x\left(2x+1\right)-x^2\left(x+2\right)+\left(x^3-x+3\right)$ 
 $=\left(2x^2+x\right)-\left(x^3+2x^2\right)+\left(x^3-x+3\right)$  
 $=2x^2+x-x^3-2x^2+x^3-x+3$  
  $=3.$  
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 1b.

Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 $4\left(x-6\right)-x^2\left(2+3x\right)+x\left(5x-4\right)+3x^2\left(x-1\right).$  

Hướng dẫn:

      $4\left(x-6\right)-x^2\left(2+3x\right)+x\left(5x-4\right)+3x^2\left(x-1\right)$  
 $=\left(4x-24\right)-\left(2x^2+3x^3\right)+\left(5x^2-4x\right)+\left(3x^3-3x^2\right)$    
 $=4x-24-2x^2-3x^3+5x^2-4x+3x^3-3x^2$ 
 $=-24.$  

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 1c.

Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 $\left(x^2-2\right)\left(x^2+x-1\right)-x\left(x^3+x^2-3x-2\right).$  

Hướng dẫn:

    

 $\left(x^2-2\right)\left(x^2+x-1\right)-x\left(x^3+x^2-3x-2\right)$  

 $=\left(x^4+x^3-x^2-2x^2-2x+2\right)-\left(x^4+x^3-3x^2-2x\right)$  

 $=x^4+x^3-3x^2-2x+2-x^4-x^3+3x^2+2x$  

 $=2.$  
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 2a.

Chứng minh đẳng thức:

 $a\left(b-c\right)-b\left(a+c\right)+c\left(a-b\right)=-2bc.$  

Hướng dẫn:

 $VT=a\left(b-c\right)-b\left(a+c\right)+c\left(a-b\right)$      
 $\ \ \ \ \ \ \ =ab-ac-ba-bc+ca-bc$  
 $\ \ \ \ \ \ \ \ =-2bc=VP.$  
Vậy  $a\left(b-c\right)-b\left(a+c\right)+c\left(a-b\right)=-2bc.$  

Bài 2b.

Chứng minh đẳng thức:

 $a\left(1-b\right)+a\left(a^2-1\right)=a\left(a^2-b\right).$  

Hướng dẫn:

 $VT=a\left(1-b\right)+a\left(a^2-1\right)$  
 $\ \ \ \ \ \ \ =a-ab+a^3-a$  
 $\ \ \ \ \ \ =a^3-ab$  
 $\ \ \ \ \ \ =a\left(a^2-b\right)=VP.$  
Vậy  $a\left(1-b\right)+a\left(a^2-1\right)=a\left(a^2-b\right).$