NILAI MUTLAK

NILAI MUTLAK

by Suroto Abu

​TUJUAN PEMBELAJARAN

Peserta didik dapat memahami konsep/definisi nilai mutlak

​Peta Konsep

​KOMPETENSI DASAR

3.1 Mengintepresikan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear aljabar lainnya.

3.1.1 Mengingat kembali pengertian persamaan linear satu variabel.

3.1.2 Mengingat kembali pengertian pertidaksamaan linear satu variabel.

3.1.3 Mendefinisikan pengertian nilai mutlak.

3.1.4 Menuliskan sifat- sifat nilai mutlak.

3.1.5 Menyusun persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.

3.1.6 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.​

​

​Pengertian dan Definisi Nilai Mutlak

Secara geometris, nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real.

Nilai mutlak dari x dinotasikan dengan |x|, didefinisikan sebagai berikut.

|x| = jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real.

Karena jarak selalu bernilai positif atau nol (tidak pernah bernilai negatif/tidak memperhatikan arah).

∴ nilai mutlak  NON NEGATIF (tidak pernah bernilai negatif). ​

​Pengertian dan Definisi Nilai Mutlak

Misalkan |x| = 3,​

berarti jarak dari x ke 0 sama dengan 3. Sehingga x dapat bernilai 3 atau –3.

​

​Penulisan pada garis bilangan :

​Definisi Nilai Mutlak

Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x disimbolkan dengan |x|, ditentukan oleh:

​

​Nilai mutlak dari bilangan positif atau nol = tetap

(bilangan itu sendiri)

​Nilai mutlak dari bilangan negatif = lawannya

(bilangan itu × (-))

​yang berarti:

 |x| = x jika x ≥ 0 (x > 0 atau x = 0)

 |x| = -x jika x < 0

​

​Definisi diatas bisa di maknai sebagai berikut : Nilai mutlak bilangan positif ataupun nol ialah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif yaitu lawan dari bilangan tersebut.

​Contoh

1. ​|5| = 5

2. ​|0| = 0

3. ​|-5| = -(-5) = 5

Dari contoh di atas terlihat bahwa nilai mutlak dari bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

​Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

​Hubungan nilai mutlak dan akar

Untuk setiap  bilangan real x berlaku:

​Jika kedua ruas persamaan di atas dikuadratkan, akan diperoleh:

​SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

1. ​|-x| = |x|

2. |x|=√x²

3. |x|² = |-x²| = x²

4. Untuk sembarang x, y ∊ R, berlaku :

a) ​|x – y| = |y – x|

b) |xy| = |x||y|

​​

​

​​d) |x + y| ≤ |x| + |y|

e)  |x| - |y|≤|x - y|

​SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

​SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

​SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

​SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

​Fungsi Nilai Mutlak

Menggambar Grafik Fungsi Mutlak dari Fungsi Linearnya

Menggambar Grafik Fungsi g(x) = |x -2|

​Perhatikan grafik f(x) = x - 2

Menggambar Grafik Fungsi g(x) = |x -2|

​Perhatikan grafik g(x) = |x - 2|

Menggambar Grafik Fungsi g(x) = |x -2|

​Perhatikan grafik g(x) = |x - 2|

​Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​Bentuk umum :

• ​Bentuk | x | = a untuk a > 0

• ​Bentuk | x | < a untuk a > 0

• ​Bentuk | x | > a untuk a > 0

​Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​​Bentuk | x | = a untuk a > 0

• |x| = a ​⇒ jarak dari x ke 0 sama dengan a

​

​

​Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​​Bentuk | x | = a untuk a > 0

​Dari gambar di samping :

bahwa jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Jadi, harus berada dimanakah x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a?

​Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​​Bentuk | x | = a untuk a > 0

Letak x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar garis bilangan, yaitu x = -a atau x = a. Terlihat dengan jelas bahwa jarak dari titik – titik tersebut ke 0 sama dengan a.

Jadi, agar jarak x ke 0 sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

∴ | x | = a, a > 0 ⇔ x = -a atau x = a​

​CONTOH 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 10| = 6.

Jawab:

​Jadi, himpunan penyelesaian dari  |2x - 10| = 6 adalah { 2, 8 }.

​CONTOH 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari |x – 2| = 2x – 1

JAWAB :

Syarat :

2x – 1 ≥ 0

2x ≥ 1

x ≥ ½

​(|x – 2|)² = (2x – 1)²

(x – 2)² = (2x – 1)²

(x – 2)² - (2x – 1)² = 0

{(x – 2) + (2x – 1)} {(x – 2) - (2x – 1)} = 0

(3x -3)(-x -1)= 0

3x – 3 = 0 atau –x – 1 = 0

3x = 3 atau –x = 1

x = 1, merupakan solusi (memenuhi syarat) atau x = -1, bukan solusi (tidak memenuhi syarat)

​HP = { 1 }

​Ingat² :

a² - b² = (a + b)(a - b)

​CONTOH 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari |3x + 5|² + |3x + 5| - 2 = 0.

 ( petunjuk : misalkan y = |3x + 5|)

JAWAB :

Ambil y = |3x + 5|, maka diperoleh :

 y² + y – 2 =0

(y + 2)(y -1) = 0

y = -2 atau y = 1

Untuk y = -2, maka |3x + 5| = -2 ( nilai mutlak tidak mungkin negatif).

∴ x ∈ {  }, tidak ada yang memenuhi. HP₁ = {  }

Untuk y = 1, maka |3x + 5| = 1

3x + 5 = 1 atau 3x + 5 = -1

3x  = 1 – 5  atau 3x = - 1 – 5, HP₂ = {-2, - 4/3}

​

​∴ HP = HP₁ ∪ HP₂

HP = {  } ∪ {-2, - 4/3}

​∴ HP = {-2, - 4/3}

​CONTOH 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari |x + 3| - |x – 2| = 4.

JAWAB :

Pembuat nol |x + 3| dan |x – 2|:

x + 3 = 0 ⇒ x = -3

x – 2 = 0 ⇒ x = 2

​

​Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​​ Bentuk | x | < a untuk a > 0

• | x | < a berarti jarak dari x ke 0  kurang dari a.​

​Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​​Bentuk | x | < a untuk a > 0

∴ | x | < a, a > 0 ⇔ -a < x < a

​Letak x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik – titik di antara -a dan a.

Letak x bisa ditulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, bisa dipastikan bahwa jaraknya ke 0 akan kurang dari a.

Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

​CONTOH 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 3| < 9.

Jawab:

​Jadi, himpunan penyelesaian dari |2x - 3| < 9 adalah {x| -3 < x < 6}.

​CONTOH 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari   -1 < x + 2 < 5.

Jawab:

​Cara 1:

-1 < x + 2 < 5

Ada 2 kondisi :  -1 < x + 2 dan x + 2 < 5

kondisi 1: -1 < x + 2         

-1 – 2 < x atau x > -3  

kondisi 2: x + 2 < 5           

x < 5 – 2 atau  x < 3

kondisi 1 dan kondisi 2, harus dipenuhi berarti diiriskan

​x > -3 ∩ x < 3 atau -3 < x < 3

​∴ HP = {x| - 3 < x < 3}

​Cara 2:

-1 < x + 2 < 5

-1 – 2 < x + 2 – 2 < 5 – 2

- 3 < x < 3

∴ HP = {x| - 3 < x < 3}

​CONTOH 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari    3 < 1 – 4x ≤ 9.

Jawab:

​3 < 1 – 4 x ≤ 9

3 – 1 < – 4x ≤ 9 – 1 (masing-masing ruas dikurangi 1)

2 < – 4x ≤ 8

​(2 < – 4x ≤ 8) : -4 (masing-masing ruas dibagi -4)

-½ > x ≥ -2

– 2 ≤ x < –½

∴ HP = {x| – 2 ≤ x < –½}

​Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​​ Bentuk | x | > a untuk a > 0

| x | > a berarti jarak dari x ke 0  lebih dari a.

​Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​​Bentuk | x | > a untuk a > 0

∴ | x | > a, a > 0 ⇔ x <-a atau x > a

​Letak x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik – titik yang lebih kecil dari-a atau lebih besar a.

Letak x bisa ditulis x <-a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, bisa dipastikan bahwa jaraknya ke 0 akan lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

​CONTOH 8

Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x + 4| ≥ 10.

Jawab:

​Jadi, himpunan penyelesaian dari |2x + 4| ≥ 10 adalah {x| x ≤ -7 atau x ≥ 3}.

​CONTOH 9

Tentukan himpunan penyelesaian dari |x – 4| + 2 ≥ 1.

Jawab:

​|x – 4| + 2 ≥ 1

|x – 4| ≥ 1 – 2

|x – 4| ≥ – 1, ingat sifat : nilai mutlak non negatif

|x – 4| ≥ 0 untuk semua x bilangan real (paling kecil 0)

Sehingga|x – 4| ≥ – 1 benar untuk semua x bilangan real.

∴ HP = {x|  x ∈ R}

​Sifat – Sifat Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

​Untuk a > 0, berlaku:

1. ​| x | = a ⇔ x = -a atau x = a​

2. ​| x | < a ⇔ -a < x < a

3. ​| x | > a ⇔ x <-a atau x > a

1. ​

​CONTOH 10

Tentukan himpunan penyelesaian dari |6 – 4|x|| < 10.

Jawab:

​|6 – 4|x|| < 10

–10 < 6 – 4|x| < 10

–10 – 6 <  – 4|x| < 10 – 6

–16  <  – 4|x| < 4

4  >  |x| > – 1

​​– 1  <  |x| <  4

1)      |x| > – 1 (nilai mutlak non negatif, sedangkan ruas kanan negatif)

HP₁ = {x| x ∈ R}

2)      |x| <  4

HP₂ = {x| – 4 < x <  4}

​Dari kondisi 1) dan 2) :

∴ HP = HP₁ ∩ HP₂ = HP₂

HP = { – 4 < x <  4 }

∴ x ∈ (-4, 4)

​CONTOH 11

Tentukan himpunan penyelesaian dari x – 1 ≤ |x – 5|.

Jawab:

​x – 1 ≤ |x – 5| atau

|x – 5| ≥ x – 1

Untuk pertidaksamaan dengan ruas kanan belum tentu bernilai positif (ruas kanannya bisa positif bisa negatif)

i)      Pembuat nol nilai mutlak :

|x – 5| = 0 ⇒ x = 5

ii)    Pembuat nol ruas kanan :

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

Ada 3 interval :

a.       Untuk x < 1 :

|x – 5| ≥ x – 1

Ruas kanan negatif (x – 1 < 0)

|x – 5| ≥ x – 1, bernilai benar untuk x < 1

HP₁ = x < 1 ... (1)​

​

​CONTOH 11

Tentukan himpunan penyelesaian dari x – 1 ≤ |x – 5|.

Jawab:

​b.       Untuk 1 ≤ x < 5 :

|x – 5| ≥ x – 1, ruas kanan positif .

– (x – 5) ≥ x – 1

– x + 5 ≥ x – 1

6 ≥ 2x

x ≤ 3

HP₂ = 1 ≤ x < 5 ∩ x ≤ 3 = 1 ≤ x ≤ 3 ... (2)

c.       Untuk x ≥ 5

|x – 5| ≥ x – 1, ruas kanan positif .

(x – 5) ≥ x – 1

– 5 ≥ – 1, penyataan yang bernilai salah.

Tidak ada nilai x yang memenuhi, x ∈ ∅

HP₃ = ∅ ... (3)

​

Tentukan himpunan penyelesaian dari x – 1 ≤ |x – 5|.

Jawab:

​Hasil dari (1), (2),  dan (3) digabungkan:

HP = HP₁ ∪ HP₂ ∪  HP₃ = x < 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3 ∪ ∅

= (-∾, 3]  = {x| x ≤ 3}

Multiple Choice

$$\left|2-\sqrt[]{5}\right|+\left|2\sqrt[]{5}-4\right|=\ ...$$  

• $$\sqrt[]{5}-2$$  

• $$3\sqrt[]{5}-6$$  

• $$6-3\sqrt[]{5}$$  

• $$2-\sqrt[]{5}$$  

• $$\sqrt[]{5}-6$$  

Multiple Choice

$$\left|6-2\pi\right|-\left|2\pi-4\right|$$  

• -2

• 10

• $$4\pi+2$$  

• $$4\pi-10$$  

• $$4\pi-2$$  

Multiple Choice

$$\left|2x-4\right|\ =\ ...\ .$$  

•    $$2x-4,\ untuk\ x\ \ge2\$$ $$\$$  

  $$4-2x,\ untuk\ x\ <2$$  

• $$2x\ -\ 4,\ untuk\ x\ >\ 2$$   $$\$$   $$4\ -\ 2x,\ untuk\ x\ <\ 2$$  

•   $$\ 2x-4,\ untuk\ x\ <2$$   $$\$$ $$4\ -\ 2x,\ untuk\ x\ \ge2$$  

• $$4-2x,\ untuk\ x\ >2$$   $$\$$   $$2x\ -\ 4,\ untuk\ x\ \le\ 2$$  

• $$x-2,\ untuk\ x\ \ge2$$   $$\$$  

  $$2\ -\ x,\ untuk\ x\ <\ 2$$  

Multiple Choice

$$\left|6-2x\right|\ =\ ...\ .$$  

• $$2x-6,\ untuk\ x\ \ge3$$   $$\$$ $$6\ -\ 2x,\ untuk\ x\ <\ 3$$  

• $$2x-6,\ untuk\ x\ >3$$   $$\$$   $$6\ -\ 2x,\ untuk\ x\ <\ 3$$  

• $$2x-6,\ untuk\ x\ <3$$ $$\$$  

  $$6\ -\ 2x,\ untuk\ x\ \ge3$$  

• $$6-2x,\ untuk\ x\ >3$$   $$\$$  

  $$2x\ -\ 6,\ untuk\ x\ \le\ 3$$  

• $$x-3,\ untuk\ x\ \ge3$$   $$\$$  

  $$3\ -\ x,\ untuk\ x\ <\ 3$$  

Multiple Choice

$$Untuk\ x\ >\ 5,\ maka\ \left|5-2x\right|=\ ...\ .$$  

• 5 - 2x

• 2x - 5

• 2x + 5

• 3x

• -3x

Multiple Choice

Nilai mutlak dari bilangan negatif adalah

• Bilangan itu sendiri

• Lawan dari bilangan itu sendiri

• Bilangan negatif

• Semua bilangan positif

Multiple Choice

Tentukanlah himpunan penyelesaian |4x + 2| ≥ 6

• HP = {x|x ≤ -2 atau x ≥ 1}

• HP = {x|x ≤ 2 atau x ≥ 1}

• HP = {x|x ≤ -2 atau x ≥ -1}

• HP = {x|x ≤ 2 atau x ≥ -1}

• HP = {x|1≤x ≤ 2}

Multiple Choice

Nilai mutlak disimbolkan dengan

• $$\lceil x\rceil$$  

• $$\left|x\right|$$  

• $$\sqrt{x}$$  

• $$\lfloor x\rfloor$$  

• $$\sqrt{x^2}$$  

Multiple Choice

Katak meloncat ke depan 4 loncatan, ke belakang 3 loncatan, kemudian ke belakang 4 loncatan. Berapa loncatan yang dilakukan katak tersebut ?

• 5

• 7

• 10

• 11

• 12

Multiple Choice

Batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  $$\left|2x-3\right|\le3$$  adalah ....

• $$-3\le x\le3$$  

• $$0\le x\le3$$  

• $$0\le x\le6$$  

• $$x\le3$$  

• $$x\le0\ atau\ x\ge3$$  

Multiple Choice

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $$\left|2x-6\right|\ge3$$  adalah ....

• $$x<1\ \frac{1}{2}\ \$$   $$atau\ \ x\ge4\ \frac{1}{2}$$  

• $$1\ \frac{1}{2}\le x\le4\ \frac{1}{2}$$  

• $$x\ge4\ \frac{1}{2}$$  

• $$x\le1\ \frac{1}{2}\ \ \$$   $$atau\ \ x\ge4\ \frac{1}{2}$$  

• $$-2<x<1$$  

Multiple Choice

Himpunan penyelesaian dari  $$\left|2x-7\right|=5$$  adalah ....

• {1}

• {6}

• {1, 6}

• {-1}

• {-1, 6}

Multiple Choice

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |3x - 2| ≥ 5 adalah ....

• x ≤ -1 atau x ≥ 2⅓

• -1 ≤ x ≤ 1

• -1 ≤ x ≤ 2⅓

• x ≥ 2⅓

• x ≤ -1 atau x ≥ 1

Multiple Choice

Nilai x yang memenuhi 1 < |2x - 1| ≤ 9

• -4 < x < 0 atau 1 < x < 5

• -4 ≤ x < 0 atau 1 < x ≤ 5

• 0 < x < 1 atau 4 < x < 5

• -1 < x < 0 atau 4 < x < 5

• -5 ≤ x ≤ -4 atau -1 < x < 0

Multiple Choice

Grafik fungsi untuk f(x) = |2x-4|untuk setiap x bilangan real adalah ...

Multiple Choice

Himpunan penyelesaian dari $$\left|2x-7\right|=-3$$ adalah ...

• 2 dan 5

• 2 dan -5

• 5 dan -2

• Tidak ada yang memenuhi

• -2 dan -5

Multiple Choice

Himpunan penyelesaian dari $$\left|2x-9\right|=3x+4$$   adalah ...

• -13 dan 1

• -13

• 1

• Tidak ada yang memenuhi

• Tidak terhingga

Multiple Choice

Himpunan Penyelesaian dari $$\left|5x+10\right|=3x\ -\ 2$$   adalah ...

• Tidak ada yang memenuhi

• -6 dan -1

• -6

• -1

• Tidak terhingga

Multiple Choice

$$\left|3x-5\right|=\left|4x-7\right|$$  

• 2 atau $$\frac{12}{7}$$  

• -2 atau $$\frac{12}{7}$$  

• 2 atau $$-\frac{12}{7}$$  

• -2 atau $$-\frac{12}{7}$$  

• -2 atau-12

Multiple Choice

$$|2x-3|^2-2|2x-3|-8=0$$  

• $$\frac{7}{2}$$  atau $$\frac{1}{2}$$  

• $$-\frac{7}{2}$$  atau $$\frac{1}{2}$$  

• $$\frac{7}{2}$$  atau $$-\frac{1}{2}$$  

• 7 atau 1

• $$-\frac{7}{2}$$  atau $$-\frac{1}{2}$$  

Multiple Choice

$$Untuk\ x\ <\ 2\ maka\ \left|\left|x\ -\ 5\right|\ -\ 2\right|\ =\ ...\ .$$  

• 3 - x

• x - 7

• x - 3

• 7 - x

• x + 10