PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN

by Suroto Abu

​Kalimat terbuka : memiliki variabel (peubah)

​Kalimat tertutup : tidak memiliki variabel (peubah)

​Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan

1. Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan sembarang bilangan real, maka tanda ketidaksamaannya tidak berubah.

2. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan real positif, maka tanda ketidaksamaannya tidak berubah.​

3. ​Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan real negatif, maka tanda ketidaksamaannya harus dibalik.​

​Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan

4. ​Jika ruas kiri dan ruas kanan positif, maka suatu pertidaksamaan kedua ruas dapat dipangkatkan tanpa mengubah tanda ketidaksamaannya .

• ​jika  a > b > 0, a dan b bilangan asli maka :

  • a² > b² > 0

  • a³ > b³ > 0

  • a⁴ > b⁴ > 0

  • a⁵ > b⁵ > 0, dan seterusnya.

  • Secara umum aⁿ > bⁿ ; a,b, dan n bilangan asli

​Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan

5. Jika ruas kiri dan ruas kanan negatif, maka suatu pertidaksamaan kedua ruas dapat dipangkatkan tanpa mengubah tanda ketidaksamaannya bila pangkatnya ganjil.

6. Jika ruas kiri dan ruas kanan negatif, maka suatu pertidaksamaan kedua ruas dapat dipangkatkan dengan mmembalik tanda ketidaksamaannya bila pangkatnya genap.

• ​jika a < b < 0 maka :

  • a² > b² > 0

  • a³ < b³ < 0

  • a⁴ > b⁴ > 0

  • a⁵ < b⁵ < 0, dan seterusnya.

  • Secara umum aⁿ > bⁿ, jika n genap dan aⁿ < bⁿ jika n ganjil

​Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan

7. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka a + c > b + d

8. ​Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka a . c > b . d > 0

​Cara Mudah Menentukan Tanda pada Garis Bilangan dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan

​

​Dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan, membuat garis bilangan adalah salah satu tahapan yang perlu kita lakukan, terutama jika pertidaksamaan tersebut memiliki beberapa titik kritis atau pembuat nol

seperti

pertidaksamaan polynomial atau pertidaksamaan rasional 

​Cara Mudah Menentukan Tanda pada Garis Bilangan dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan

Tahapan-tahapan dalam menyelesaikan pertidaksamaan:

1. Jadikan ruas kanan pertidaksamaan bernilai 0

2. Faktorkan / tentukan titik kritis (pembuat nol)

3. Buat garis bilangan

4. Tentukan tanda + atau − setiap interval pada garis bilangan

5. Tentukan himpunan penyelesaian.

​Cara Mudah Menentukan Tanda pada Garis Bilangan dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan

​

Untuk pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat, masih dapat dengan mudah kita selesaikan bahkan tanpa membuat garis bilangan.

Namun untuk pertidaksamaan yang memuat beberpa faktor atau memiliki banyak titik kritis, membuat garis bilangan menjadi hal yang perlu untuk kita lakukan dalam menentukan himpunan penyelesaian​

​Cara Mudah Menentukan Tanda pada Garis Bilangan dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan

​

Pertidaksamaan di atas, memiliki 4 titik kritis :

​

​

​

sehingga jika kita buat garis bilangannya sebagai berikut​

​Cara Mudah Menentukan Tanda pada Garis Bilangan dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan

​

4 titik kritis menyebabkan terbentuknya lima buah interval (daerah) yang perlu kita uji tanda pada masing-masing interval apakah + atau −.

Jika kita lakukan pengujian dengan mengambil sembarang titik uji pada masing-masing interval :

misalnya pada interval I (x<0) kita ambil x=−1 sebagai titik uji,

pada interval II (0<x<3/2) kita ambil x=1 sebagai titik uji,

bagaimana dengan interval IV (3<x<7/2)? tentunya kita tidak bisa mengambil x bilangan bulat sebagai titik uji, tentu ini akan cukup "merepotkan".

Berikut ini tips cara mudah menentukan tanda + atau − pada garis bilangan tanpa menggunakan titik uji.​

​Cara Mudah Menentukan Tanda pada Garis Bilangan dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan

​

​

Tentukan tanda pada daerah paling kanan hanya dengan mengalikan koefisien x dari tiap-tiap fakor

Untuk daerah (interval lainnya), gunakan aturan sebagai berikut:

"ketika melewati titik kritis, tanda bergantian kecuali ketika melewati titik kritis yang berasal dari x², (ax + b)² atau  

​

​

dengan n genap maka tanda tetap.​

1. Sebagai contoh, kita akan menyelesaikan pertidaksamaan tsb, sebagai berikut:

​

Pertidaksamaan di atas, memiliki 4 titik kritis :

​

​

​

sehingga jika kita buat garis bilangannya sebagai berikut​

Maka daerah paling kanan bernilai positif (+)

​

​

​

​

​Berikutnya, tentukan tanda pada interval lainnya dengan aturan

jika melewati titik kritis yang berasal dari faktor berpangkat genap, maka tanda tetap.

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional (Pertidaksamaan Pecahan)

​

Pertidaksamaan rasional adalah  pertidaksamaan yang berbentuk pecahan dengan pembilang dan penyebut memuat variabel atau hanya penyebutnya saja yang memuat variabel.

Berikut ini beberapa contoh pertidaksamaan rasional.

​

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional (Pertidaksamaan Pecahan)

​

Berikut ini beberapa contoh pertidaksamaan rasional.

​

​

​Ada 3 contoh pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan dengan bentuk yang berbeda. Pertidaksamaan rasional selalu dapat diubah sehingga menjadi salah satu dari bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:

​

​

​Dengan f(x) sebagai fungsi pembilang dan g(x) sebagai fungsi penyebut dan g(x)≠0.

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional (Pertidaksamaan Pecahan)

​

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:

Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol.

Jika fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan.

Cari titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebut.

Gambar pada garis bilangan.

Lakukan pengujian daerah yang dibatasi titik kritis pada garis bilangan. Tentukan himpunan penyelesaian.

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional (Pertidaksamaan Pecahan)

​

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:

Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh bernilai nol, dengan demikian saat menggambar garis bilangan, titik kritis yang diperoleh dari penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong, artinya titik tersebut tidak termasuk penyelesaian meskipun tanda pertidaksamaan pada soal memuat tanda sama dengan (≤ atau ≥).

​Himpunan penyelesaian dari

​

 adalah {x|5/2 ≤ x < 5, x∈R}

​

​Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut

​Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut

​Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut

​Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut

​Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut

​Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit

Secara bahasa, definit artinya pasti.

Dalam matematika terutama yang berkaitan dengan fungsi kuadrat dikenal dua definit yaitu definit positif dan definit negatif.

Definit positif artinya fungsi tersebut selalu menghasilkan nilai positif untuk setiap x anggota bilangan real, dan definit negatif artinya fungsi selalu menghasilkan nilai negatif untuk setiap x anggota bilangan real.

​

​

​Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit

Fungsi kuadrat

1. definit positif, jika a > 0 dan ,

maka untuk berapapun nilai x anggota bilangan real, nilai y selalu positif.

2. definit negatif, jika a < 0 dan ,

maka untuk berapapun nilai x anggota bilangan real, nilai y selalu negatif.

​

Perhatikan contoh pertidaksamaan rasional berikut:

​

​

​

​Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit

​a > 0 dan D < 0, maka x² + 4 definit positif.

Karena penyebutnya positif, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja.

​x² + 2x - 8 < 0

(x + 4)(x - 2) < 0

​Titik kritisnya adalah x=−4 dan x=2, maka garis bilangannya sebagai berikut:

​Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit

​Karena penyebutnya positif, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja.

​​x² + 2x - 8 < 0

(x + 4)(x - 2) < 0

​Titik kritisnya adalah x=−4 dan x=2, maka garis bilangannya sebagai berikut:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tsb. adalah {x|−4 < x < 2}

Latihan​

​Berikut ini soal pertidaksamaan polinomial dan

pertidaksamaan rasional

Multiple Choice

Penyelesaian pertidaksamaan $$\frac{x+1}{2x-1}<3$$  adalah .....

• $$x<-\frac{1}{2}$$  atau $$x>\frac{4}{5}$$  

• $$x<-\frac{4}{5}$$  atau $$x>\frac{1}{2}$$  

• $$x<\frac{1}{2}$$  atau $$x>\frac{4}{5}$$  

• $$-\frac{4}{5}<x<-\frac{1}{2}$$  

• $$\frac{1}{2}<x<\frac{4}{5}$$  

Multiple Choice

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $$\frac{2x+3}{x-2}\ge3$$  adalah .....

• {x|x<2 atau x>9}

• {x|x $$\le$$ -9 atau x>2}

• {x|2< x $$\le$$ 9}

• {x|-2< x $$\le$$ 9}

• {x|-9 $$\le$$  x < 2}

Multiple Choice

$$Penyelesaian\ dari\ \frac{3}{2x+1}<\frac{5}{3x-2}adalah\ \cdot\cdot\cdot\cdot$$  

• $$x\le-11\ atau\ -\frac{1}{2}<x<\frac{2}{3}$$  

• $$x<-11atau\ -\frac{1}{2}\le x\le\frac{2}{3}$$  

• $$-11\le x<\frac{1}{2}$$  

• $$-11<x<-\frac{1}{2}$$  

• $$-11<x<-\frac{1}{2}atau\ x>\frac{2}{3}$$  

Multiple Choice

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $$\frac{x-2}{4x+1}<0$$  adalah ....

• $$\frac{1}{4}<x<2$$  

• $$-\frac{1}{4}<x<2$$  

• $$-2<x<\frac{1}{4}$$  

• $$x<-\frac{1}{4}\ atau\ x>2$$  

• $$x<-2\ atau\ x>\frac{1}{4}$$  

Multiple Choice

Himpunan penyelesaian dari  $$\frac{\text{x - 5}}{\text{2 - x}}\ge0$$  adalah .... 

• $$x<2\ atau\ x>5$$  

• $$2<x<5$$  

• $$-2<x<3$$  

• $$x<-2\ atau\ x>3$$  

• $$2<x\le5$$  

Multiple Choice

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan polinomial  $$\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0$$

• $$-1\le x\le1\ dan\ x\ge-2$$  

• $$1\le x\le-1\ dan\ x\ge2$$  

• $$-1\le x\le1\ dan\ x\ge2$$  

• $$-1\ge x\ge1\ dan\ x\ge2$$  

• $$-1\le x\le2\ dan\ x\ge1$$  

Multiple Choice

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan rasional  $$\frac{x^2-5x+6}{x+4}<0$$  

• $$x<-4\ atau\ -2<x<3$$  

• $$x<-4\ atau\ -2<x<-3$$  

• $$x<-4\ atau\ 2<x<3$$  

• $$x<4\ atau\ 2<x<3$$  

• $$x<4\ atau\ 2<x<-3$$  

Multiple Choice

Batasan x yang memenuhi pertidaksamaan $$1-\frac{3}{\left(x-1\right)}-\frac{4}{\left(x-1\right)^2}>0$$  adalah ....

• $$0<x<1\ atau\ x>5$$  

• $$-1<x<0\ atau\ x>4$$  

• $$x<0\ atau\ x>5$$  

• $$x<1\ atau\ x>4$$  

• $$1<x<5$$  

Multiple Choice

Semua nilai p yang memenuhi pertidaksamaan $$\frac{p}{p-2}<\frac{p-1}{p+2}$$  adalah

• $$p>-2\ atau\ p>2$$  

• $$-2<p<\frac{2}{5}atau\ p\ne0$$  

• $$p<-2\ atau\ \frac{2}{5}<p<2$$  

• $$\frac{2}{5}<p<2\ atau\ p\ne0$$  

• $$-2<p<\frac{2}{5}\ atau\ p>2$$  

Multiple Choice

Penyelesaian pertidaksamaan $$\left(\frac{x-1}{x}\right)^{^2}\ \le4\left(1-\frac{1}{x}\right)-3$$  adalah

• $$x\le-\frac{1}{2}$$  

• $$x\ge-\frac{1}{2}$$  

• $$x\ge2$$  

• $$x\le2$$  

• $$x<-\frac{1}{2}atau\ x\ge2$$  

Multiple Choice

$$\frac{3}{x^2-3x+2}<\frac{5}{x^2-4x+3}$$   salah satu penyelesaian yang benar adalah ....

• $$x>\frac{1}{2}$$  

• $$x>2$$  

• $$x>3$$  

• $$\frac{1}{2}<x<3$$  

• $$2<x<3$$  

Multiple Choice

Solusi pertidaksamaan $$\frac{x^2-x-2}{-x^2+x-1}\le0$$  adalah himpunan semua bilangan real x yang memenuhi ...

• $$x\le-2\ atau\ x\ge1$$  

• $$x\le-1\ atau\ x\ge2$$  

• $$-2\le x\le1$$  

• $$-1\le x\le2$$  

• $$x\le1$$  

Multiple Choice

 Penyelesaian pertidaksamaan $$\frac{x^2-3x+2}{x+2}\ge0$$  adalah...

•  x ≥ 2

•  x ≤ –2 atau 1 ≤ x ≤ 2

• x < –2 atau 1 ≤ x ≤ 2

•  –2 < x ≤ 1 atau x ≥ 2

• –2 ≤ x ≤ 1 atau x ≥ 2

Multiple Choice

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $$\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+x-6\right)}{x^2+x-20}<0$$  adalah...

• x < –5 atau –3 < x < 4

• x < –5 atau –3 < x < 4, x ≠ 2 

• –5 < x < –3 atau 2 < x < 4

• –5 < x < –3 atau x > 4

• –3 < x < 2 atau x > 4

Multiple Choice

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $$\frac{x+1}{x-3}\le\frac{x-2}{x-4}$$  adalah...

•  x > 4

• 3 < x ≤ 5

• 4 < x ≤ 5

• 3 < x < 4 atau x ≥ 5

• x < 3 atau 4 < x ≤ 5

Open Ended

Berapa jawaban Anda yang benar?

Berapa nilai Anda? (  $$Nilai\ =\frac{jumlah\ jawaban\ benar}{15}\times100$$  )

Bila nilai Anda < 75​

Silahkan disimak dan di coba lagi​ dengan tautan (kode) yang sama

Sekian terimakasih

Mudahan bermanfaat untuk semua