Triángulos oblicuangulos

Triángulos oblicuángulos

by Ing. Barrueta

​Triángulo

1. Figura geométrica de tres lados y tres ángulos.

1. "la superficie del triángulo se calcula multiplicando la mitad de la base por su altura"

2. 2. Figura imaginaria formada por tres vértices o tres elementos que tienen una relación.

​​El triángulo oblicuángulo

es aquel donde ninguno de sus ángulos interiores es recto o igual que 90º. Este tipo de triángulo es un caso muy particular dentro de los tipos de triángulo según la medida de sus ángulos internos. Vale recordar que un triángulo es un polígono.

​Un triángulo que no es rectángulo se le llama Oblicuángulo (se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante, cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente). Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b y c.

​Se utilizan tres propiedades: 

​Casos en la resolución de triángulos:

Multiple Choice

Selecciona cual de las cuatro opciones se asemeja mas al teorema del seno

• $$senA/a=(senB)/b=(senC)/c$$  

• $$senB=(ca.op)/(ca.ad.)$$  

• $$senB=(ca.ad.)/(ca.op.)$$  

• $$senB=(ca.ad.)/hip$$  

Multiple Choice

Cual de las siguientes expresiones representa el Teorema del coseno

• a² = b² + c² - 2·b·c·Cos B

• $$b2=a2+c2-2·a·c·CosB$$  

• $$c2=a2+b2-2·a·b·CosC$$  

• c² = a² + b² - 2·a·b·Cos C

​CASO I: Se dan los lados a, b y c

​ORIENTACIONES

Hay que tener en cuenta que este caso no siempre tiene solución, es decir no valen cualesquiera tres segmentos a, b y c ya que para que pueda formarse un triángulo ha de cumplirse que cualquier lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.

Esta propiedad se conoce como propiedad triangular y se expresa así:

a < b + c b < a + c c < a + b

​Para comprobar esta propiedad. 

a, b y c son parámetros que podemos elegir a voluntad. Inicialmente a =7, b =10 y c = 6.

​La solución trigonométrica de A, B y C se obtiene calculando en el siguiente orden:

​1º Aplicando el teorema del coseno para calcular A y luego B

2º Aplicando la relación de la suma de ángulos se calcula C:

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​NOTA 1:  la solución da A=B=C=0º representa un caso imposible

​Dado el triángulo oblicuángulo mostrado en la figura 2, cuyas medidas están dadas en unidades arbitrarias, determinar:

a) El valor de x. ¿Es un triángulo acutángulo u obtusángulo?

b) Los restantes ángulos internos del triángulo

c) Perímetro

d) Área.

​Solución a

​Del triángulo se conocen dos lados adyacentes, cuyas medidas son 38.0 y 45.8 y el ángulo entre ellos, que es 30º, por lo tanto el teorema del coseno es de aplicación inmediata:

x² = 38.0² + 45.8² – 2 x 38.0 x 45.8 x cos 30º = 527.18

Por lo tanto:

x = (527.18)^1/2 = 22.96

El dibujo sugiere que α > 90º y el triángulo es obtusángulo, además de oblicuángulo. Para comprobarlo, hallamos los cuadrados de los lados, como se hizo en el ejercicio anterior:

22.96² = 527.18

38.0² = 1444.00

45.8² =  2097.64

​Solución a

​El ángulo α es mayor que 90º si se cumple que el cuadrado del lado opuesto: 45.8²  es mayor que la suma de los cuadrados de los otros lados, la cual es 22.96² + 38.0².

Veamos si ocurre así:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

En efecto:

2097.64 >1971.2

Por consiguiente el ángulo α es mayor a 90º.

​Solución b

​Ahora podemos aplicar el teorema del seno para encontrar uno de los ángulos faltantes. Vamos a plantearlo para el ángulo β:

sen 30º / 22.96 = sen β / 38

sen β = 38 x (sen 30º / 22.96) = 0.8275

β = arcsen (0.8275) = 55.84º

El ángulo faltante lo podemos encontrar sabiendo que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180º. Por lo tanto:

55.84º  + 30º + α = 180º

α = 94.16º

Si se prefiere, también se puede emplear el teorema del coseno para encontrar el coseno del ángulo que se encuentra entre dos lados adyacentes cualesquiera. Una vez obtenido, se utiliza la función arco coseno para determinar el ángulo.

Los resultados pueden diferir un poco en los decimales, según el redondeo llevado a cabo.

​Solución c

​El perímetro P es el contorno de la figura, equivalente a la suma de las medidas de los tres lados:

P = 22.96 + 38.00 + 45.80 = 106.76 unidades arbitrarias.

​​Solución d

​Solución d

La fórmula para calcular el área de un triángulo cualquiera es:

A = (1/2) x base x altura

Necesitamos escoger uno de los lados como base y determinar la altura. Por ejemplo, escogiendo el lado que mide 45.8, trazamos la altura h hasta el vértice A, que es la línea roja en la figura 2b.

Al hacer esto dividimos el triángulo original en dos triángulos rectángulos, ambos con h como cateto en común. Cualquiera de ellos sirve, ya que conocemos un lado y un ángulo agudo.

Vamos a tomar el que tiene hipotenusa igual a 38, un cateto que mide h, que es la altura buscada y el ángulo agudo igual a 30º.

Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo agudo 30º determinamos el valor de h:

sen 30º = cateto opuesto a 30º / hipotenusa = h / 38

h = 38 x sen 30º = 19

Por lo tanto:

A = (1/2) x 45.8 x 19 = 435.1 unidades arbitrarias de área.

Pudimos haber escogido otro de los lados como base, por ejemplo el lado 38, en tal caso, la altura h es diferente, ya que se forma otro triángulo rectángulo, pero el resultado del área es el mismo. Queda como ejercicio para el lector comprobarlo.

Multiple Choice

estos triángulos serán los correctos para el ejercicio anterior

• Verdadero

• Falso

Multiple Choice

Resuelve el triángulo con los datos siguientes:

a= 15 km

b= 22 km

c= 17 km

• A=42.54

  B=86.38

  C=51.08

• A=42.89

  B=86.62

  C=50.49

• A=43.54

  B=86.16

  C=50.03

• A=42

  B=87

  C=51

​CASO II: Se da un lado y los ángulos adyacentes

​La única limitación es que los dos ángulos tienen que sumar menos de 180º (B + C < 180º) para que sea posible la construcción.

En la escena los parámetros son a, B y C que inicialmente tiene el valor a = 10, B = 45º, C = 76º 

La solución trigonométrica se consigue aplicando el siguiente orden a las propiedades: 

1º Suma de los ángulos B + C para determinar A 

2º Teorema del Seno para determinar sucesivamente los lados b y c.

​Dado el triángulo ABC tal que A=60º, C=75º y b=10cm, calcule los demás datos del triángulo.

​se tiene que B = 180º-60º-75º = 45º.

Además, utilizando la ley de los senos se tiene que

a/ sin(60º) = 10 / sin(45º)  = c / sin(75º),

de donde se obtiene que

a = 10*sin(60º)/sin(45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm

y

c= 10*sin(75º)/sin(45º) = 5(1+√3) ≈ 13.660 cm.