Geometrie

Geometrie

by Rihana , Iarina , Vivi , Maia, Carina,

​Bisectoarea

Definiție: Semidreapta cu originea în vârful unghiului, ce formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente, se numește bisectoare.

​

​ Teoremă: Un punct interior unui unghi este situat pe bisectoarea unghiului dacă și numai dacă este egal depărtat de laturile unghiului.

​

​ Teoremă: Bisectoarea unghiurilor unui triunghi sunt congruente intr-un ponct egal depărtat de laturile triunghiului.

​

​ Punctul lor de intersecție se notează, de regulă, cu I și se numește centrul cercului înscris în triunghi.

​1.Demonstrație:   

  Fie P∈It(<xOy).

​ Fie PA⊥Ox ⟹ d(P, Ox)=PA și PB⊥Oy⟹ d(P, Oy)=PB.

​PA⊥Ox⟹ <PAO=90°⟹ ΔAOP este dreptunghic în A.

​PB⊥Oy⟹ <PBO=90°⟹ ΔBOP este dreptunghic în B.

​"⟹"Fie [Oz bisectoarea unghiului propriu xOy, cu P ∈[Oz.

​Vom arăta că P este egal depărtat de laturile unghiului.

​[Oz este bisectoarea unghiului xOy⟹ <AOP≡<BOP

​

​ΔAOPeste dreptunghic în A

ΔBOP este dreptunghic în B............ .⟹ΔAOP≡ΔBOP⟹PA≡PB

OP≡OP(ipotenuză comună)

​<AOP≡<BOP

​

​d(P, Ox)=PA

​d(P, Oy)=PA................ ⟹​d(P, Ox)=​d(P, Oy)

​PA≡PB⟹PA=PB

​2. Având trei unghiuri, evident că triunghiul are și trei bisectoare.

Peantru a construi cercul înscris într-un triunghi oarecare ABC, urmăm acești pași:

​

P₁: Construin bisectoarele AA și BB

​P₂: Punctul lor de intersecție, notat cu I, este

centrul cercului înscris în ΔABC

​P₃: Construin ID⊥BC

​P₄: Cu ajutorul compasului construim cercul

de centrul I și raza ID

​Mediatoarea

​ Definiție: Mediatoarea unui segment este perpendiculara pe segment în mijlocul acestuia.

​

​ Teoremă: Un punct aparține mediatoarei unui segment dacă și numai dacă este egal depărtat de capetele segmentului.

​

Teoremă: Mediatoarele laturilor orcărui triunghi sunt concrente într-un punct egal depărtat de vârfurile triunghiului.

​

Acest punct se notează, de regulă, cu O și se numește centrul cercului circumscris triunghiului dat.

​Redactăm cu simboluri:

​

​d⊥AB

​d∩AB={O}....................⟹d este mediatoarea [AB

​​O este mijl. [AB

​

​

​Deoarece orice triunghi are trei laturi(trei segmente), deducem că în orice    ΔABC putem construi trei mediatoare: d₁; d₂; d₃.

​

​Înălțimea

​Definiție: Perpendiculara construită dintr-un vârf al unui triunghi pe latura opusă se numește înălțime.

​

​Observatie: Orice triunghi are trei înalțimi .

​

​Teoremă: Dreptele care contin inaltimile oricarui triunghi sunt concurente intr-un punct numit ortocentrul triunghiului , notat cu H.

​

​Observatie: In triunghiul ABC , dreptunghiul in A , cele trei inaltimi sunt AD si cele doua catete .

​Mediana

​Definite: Segmetul cu extremitatile intr-un varf al triunghiului si , respectiv , mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

​

​Observatie: Orice triunghi are trei mediane . In cazul nostru AM ,BN ,CP sunt mediane in triunghiul ABC.

​

​Teorema: In orice triunghi , medianele sunt concurente intr-un punct G , numit centrul de greutate al triunghiului , care este situat pe fiecare dintre mediane la doua treimi de varf si o treime de baza.

​

       Multumim pentru             atentia acordata !